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Fiche n°
jeudi 8 janvier 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

12345678910111213141516abcdABCDEFGHIJKLMN
Le car part de l'école, au carrefour G, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑨ rue HauteⒶ Rond-point du PontⒿ Place de la Fontaine
① rue du Puits⑩ avenue de la GareⒷ Place de l'ÉgliseⓀ Place des Tanneurs
② rue des Jardins⑪ sentier des PrésⒸ Place du MarchéⓁ Carrefour du Lavoir
③ rue du Moulin⑫ rue BasseⒹ Placette des OrmesⓂ Rond-point du Stade
④ rue des Lilas⑬ chemin du LavoirⒺ Fontaine Notre-DameLes bâtiments
⑤ venelle du Chat⑭ impasse VerteⒻ Carrefour de la Mairiea l'école
⑥ rue de la Poste⑮ chemin des VignesⒼ Carrefour Saint-Rochb la bibliothèque
⑦ rue du Stade⑯ passage du MarchéⒽ Place du Vieux-Puitsc la mairie
⑧ rue des ÉcolesLes carrefoursⒾ Carrefour du Moulind le gymnase
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

12345678910111213141516abcdABCDEFGHIJKLMN
Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresA, D, E, G, H, K, L7
clairsB, C, F, I, J, M6
Il y a 7 carrefours sombres et 6 clairs. Il y en a donc 1 de plus du côté des sombres.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 13 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Non. Un circuit revient à son point de départ : il compte autant d'arrêts sombres que de clairs. Or ce quartier a 7 carrefours sombres et 6 clairs — c'est impossible.
4.
Oui, à condition de ne pas revenir. Un trajet possible au départ de G :
Le trajet du car
Le car sort de l'école et prend la rue des Écoles ⑧ vers le nord jusqu'à Carrefour de la Mairie (F).
Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑦, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (E).
Il tourne à droite dans la rue des Lilas ④, vers le nord, jusqu'à Place de l'Église (B).
Il tourne à droite dans la rue du Moulin ③, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (A).
Il continue tout droit dans la rue du Puits ①, vers l'est, jusqu'à Place du Marché (C).
Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑤, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes (D).
Il continue tout droit dans la rue de la Poste ⑥, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (I).
Il tourne à gauche dans la rue Basse ⑫, vers l'est, jusqu'à Place du Vieux-Puits (H).
Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑪, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (J).
Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (L).
Il continue tout droit dans le passage du Marché ⑯, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (M).
Il continue tout droit dans l'impasse Verte ⑭, vers l'ouest, jusqu'à Place des Tanneurs (K).
Les 13 carrefours ont été desservis une fois chacun. Le car termine loin de l'école : c'est permis ici, mais pas à la question 3.

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