Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (3 + 3) × 7 = 6 × 7 = 42
B = 3 + 3 × 7 = 3 + 21 = 24
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9² + 6² est une somme : c'est la somme des carrés de 9 et de 6.
D = (5 + 4)² est un carré : c'est le carré de la somme de 5 et 4.
E = 26 − 6 × 4 est une différence : c'est la différence entre 26 et le produit de 6 par 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 14 = 126 ≤ 128 < 135 = 9 × 15 : le quotient est 14, le reste 128 − 126 = 2.
128 = 9 × 14 + 2, avec 2 < 9.
22 × 100 = 2 200 ≤ 2 204 < 2 222 = 22 × 101 : le quotient est 100, le reste 2 204 − 2 200 = 4.
2 204 = 22 × 100 + 4, avec 4 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 359 = 11 × 31 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(b) 359 = 11 × 32 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 11. ✔
(c) 359 = 11 × 33 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 32, reste 7.
Comme 7 < 32 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 359 par 32 : quotient 11, reste 7.
3. 32 = 5 × 6 + 2, avec 2 < 5
a) Chaque joueur reçoit 6 cartes.
b) La pioche contient 2 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 5 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 8 480 | oui | non | oui | non | oui |
| 6 327 | non | oui | non | oui | non |
| 627 | non | oui | non | non | non |
| 955 | non | non | oui | non | non |
| 9 482 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
8 480 → 8 + 4 + 8 + 0 = 20 6 327 → 6 + 3 + 2 + 7 = 18 627 → 6 + 2 + 7 = 15
955 → 9 + 5 + 5 = 19 9 482 → 9 + 4 + 8 + 2 = 23
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 2 + 5 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 12
Une seule solution : 255.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 315, somme des chiffres 9.
« 3 est un diviseur de 73. » Faux. 73 = 3 × 24 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 31 − 5 + 12 = 26 + 12 = 38
B = 9 ÷ 3 × 2 = 3 × 2 = 6
C = (2 + 2) × 4 − 10 = 4 × 4 − 10 = 16 − 10 = 6
D = 3 × [25 − (2 + 8)] = 3 × [25 − 10] = 3 × 15 = 45
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × (9 × 5 − 3) = 4 × (45 − 3) = 4 × 42 = 168
4 × (3 × 9 + 5) = 4 × (27 + 5) = 4 × 32 = 128
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 14 × 101 = 14 × (100 + 1) = 14 × 100 + 14 × 1 = 1 400 + 14 = 1 414
F = 25 + 12,6 + 75 = 25 + 75 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
G = 15 × 11 + 15 × 89 = 15 × (11 + 89) = 15 × 100 = 1 500
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 1,5 × 1,5 = 1,5² 6 × 6 = 6²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 10² = 10 × 10 = 100 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 4² = 1 + 16 = 17, qui n'est le carré d'aucun entier (4² = 16 et 5² = 25). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 25 = 5² : carré
27 = 3³ : cube 65 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 65 < 81 = 9²)
128 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 128 < 144 = 12²) 143 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 143 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 9 = 5 × 25 − 9 = 125 − 9 = 116
B = (5 × 5)² − 9 = 25² − 9 = 625 − 9 = 616
C = 1² + 5² = 1 + 25 = 26
D = (1 + 5)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 7 : x² + 4 = 7² + 4 = 49 + 4 = 53 et 5x = 5 × 7 = 35.
53 ≠ 35 : l'égalité est fausse pour x = 7.
Pour x = 1 : x² + 4 = 1² + 4 = 1 + 4 = 5 et 5x = 5 × 1 = 5.
5 = 5 : l'égalité est vraie pour x = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 4, et seulement pour 1 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 9² = π × 81 = 81π
a) L'aire exacte est 81π m².
81 × 3,14 = 254,34
b) L'aire vaut environ 254 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 9², et non (π × 9)². On élève 9 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 22. » → encore 20 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 4, 16.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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