Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 16 + 18 ÷ 2 = 16 + 9 = 25
B = (16 + 18) ÷ 2 = 34 ÷ 2 = 17
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (1 + 4)² est un carré : c'est le carré de la somme de 1 et 4.
D = (4 + 7) × 8 est un produit : c'est le produit de la somme de 4 et 7 par 8.
E = 10 + 48 ÷ 8 est une somme : c'est la somme de 10 et du quotient de 48 par 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 46 = 276 ≤ 278 < 282 = 6 × 47 : le quotient est 46, le reste 278 − 276 = 2.
278 = 6 × 46 + 2, avec 2 < 6.
20 × 89 = 1 780 ≤ 1 785 < 1 800 = 20 × 90 : le quotient est 89, le reste 1 785 − 1 780 = 5.
1 785 = 20 × 89 + 5, avec 5 < 20.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 303 = 8 × 38 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 303 = 8 × 36 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(c) 303 = 8 × 37 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 8. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 37, reste 7.
Comme 7 < 37 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 303 par 37 : quotient 8, reste 7.
3. 108 = 5 × 21 + 3, avec 3 < 5
a) Chaque joueur reçoit 21 cartes.
b) La pioche contient 3 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 5 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 2 730 | oui | oui | oui | non | oui |
| 2 781 | non | oui | non | oui | non |
| 905 | non | non | oui | non | non |
| 147 | non | oui | non | non | non |
| 2 306 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
2 730 → 2 + 7 + 3 + 0 = 12 2 781 → 2 + 7 + 8 + 1 = 18 905 → 9 + 0 + 5 = 14
147 → 1 + 4 + 7 = 12 2 306 → 2 + 3 + 0 + 6 = 11
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 7 = 12 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12 ; □ = 3 : 15 ; □ = 6 : 18 ; □ = 9 : 21
4 solutions : 507, 537, 567, 597.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 64 est pair mais 64 = 3 × 21 + 1.
« 168 est un multiple de 6. » Vrai. 168 = 6 × 28 : le reste de la division de 168 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 22 + 2 × 5 = 22 + 10 = 32
B = 8 × 8 − 3 × 2 = 64 − 6 = 58
C = 55 − 2 × (15 − 6) = 55 − 2 × 9 = 55 − 18 = 37
D = 8,7 + 3 × 2,5 = 8,7 + 7,5 = 16,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 + 2 × (7 − 7) = 6 + 2 × 0 = 6 + 0 = 6
(6 − 4 + 5) × 4 = (2 + 5) × 4 = 7 × 4 = 28
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 41 × 11 = 41 × (10 + 1) = 41 × 10 + 41 × 1 = 410 + 41 = 451
F = 5 × 94 × 20 = 5 × 20 × 94 = 100 × 94 = 9 400
G = 12,5 × 0,25 + 12,5 × 0,75 = 12,5 × (0,25 + 0,75) = 12,5 × 1 = 12,5
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 = 6² 1,5 × 1,5 = 1,5² 6 × 6 × 6 = 6³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 12² = 12 × 12 = 144 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « (1 + 5)² = 1² + 5² » Faux. (1 + 5)² = 6² = 36, alors que 1² + 5² = 1 + 25 = 26.
« 4 × 5² = 20² » Faux. 4 × 5² = 4 × 25 = 100, alors que 20² = 400. Le carré ne porte que sur 5.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 17 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 17 < 25 = 5²)
36 = 6² : carré 125 = 5³ : cube
140 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 140 < 144 = 12²) 147 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 147 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 8 = 2 × 9 − 8 = 18 − 8 = 10
B = (2 × 3)² − 8 = 6² − 8 = 36 − 8 = 28
C = 6² + 4² = 36 + 16 = 52
D = (6 + 4)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 4 : x² + 24 = 4² + 24 = 16 + 24 = 40 et 10x = 10 × 4 = 40.
40 = 40 : l'égalité est vraie pour x = 4.
Pour x = 7 : x² + 24 = 7² + 24 = 49 + 24 = 73 et 10x = 10 × 7 = 70.
73 ≠ 70 : l'égalité est fausse pour x = 7.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 6, et seulement pour 4 et 6.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
4 × 5 = 20
a) Il faut 20 carreaux le long d'un côté.
20 rangées de 20 carreaux : 20² = 20 × 20 = 400
b) Il faut 400 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 20 et 53. » → encore 32 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 25, 36, 49.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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