Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (34 − 5) × 5 = 29 × 5 = 145
B = 34 − 5 × 5 = 34 − 25 = 9
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (21 + 51) ÷ 8 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 21 et 51 par 8.
D = (5 + 1)² est un carré : c'est le carré de la somme de 5 et 1.
E = 3 + 6 ÷ 3 est une somme : c'est la somme de 3 et du quotient de 6 par 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 86 = 344 ≤ 347 < 348 = 4 × 87 : le quotient est 86, le reste 347 − 344 = 3.
347 = 4 × 86 + 3, avec 3 < 4.
21 × 100 = 2 100 ≤ 2 104 < 2 121 = 21 × 101 : le quotient est 100, le reste 2 104 − 2 100 = 4.
2 104 = 21 × 100 + 4, avec 4 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 309 = 15 × 21 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 309 = 15 × 19 + 24 : le « reste » 24 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(c) 309 = 15 × 20 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 15. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 20, reste 9.
Comme 9 < 20 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 309 par 20 : quotient 15, reste 9.
3. 70 = 12 × 5 + 10
En 5 soirs, elle lit 60 pages ; il lui en reste encore 10.
a) Il lui faut 5 + 1 = 6 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 10 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 595 | non | non | oui | non | non |
| 1 179 | non | oui | non | oui | non |
| 7 040 | oui | non | oui | non | oui |
| 6 092 | oui | non | non | non | non |
| 411 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
595 → 5 + 9 + 5 = 19 1 179 → 1 + 1 + 7 + 9 = 18 7 040 → 7 + 0 + 4 + 0 = 11
6 092 → 6 + 0 + 9 + 2 = 17 411 → 4 + 1 + 1 = 6
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 3 = 12 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 6 : 18
Une seule solution : 963.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 6 est un diviseur de 180. » Vrai. 180 = 6 × 30 : le reste de la division de 180 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 3 + 6 × 5 = 3 + 30 = 33
B = 15 + 48 ÷ 8 × 4 = 15 + 6 × 4 = 15 + 24 = 39
C = 68 − 3 × (11 − 4) = 68 − 3 × 7 = 68 − 21 = 47
D = 5 × [37 − (3 + 6)] = 5 × [37 − 9] = 5 × 28 = 140
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(6 − 2 + 2) × 3 = (4 + 2) × 3 = 6 × 3 = 18
(2 + 4) × 7 − 7 = 6 × 7 − 7 = 42 − 7 = 35
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 1,5 × 0,25 + 1,5 × 0,75 = 1,5 × (0,25 + 0,75) = 1,5 × 1 = 1,5
F = 4 × 44 × 25 = 4 × 25 × 44 = 100 × 44 = 4 400
G = 25 × 101 = 25 × (100 + 1) = 25 × 100 + 25 × 1 = 2 500 + 25 = 2 525
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 9 × 9 = 9² 2 × 2 × 2 = 2³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 4 × 6² = 24² » Faux. 4 × 6² = 4 × 36 = 144, alors que 24² = 576. Le carré ne porte que sur 6.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« (4 + 3)² = 4² + 3² » Faux. (4 + 3)² = 7² = 49, alors que 4² + 3² = 16 + 9 = 25.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 38 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 38 < 49 = 7²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 68 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 68 < 81 = 9²)
81 = 9² : carré 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 4² − 3 = 4 × 16 − 3 = 64 − 3 = 61
B = (4 × 4)² − 3 = 16² − 3 = 256 − 3 = 253
C = 6² + 5² = 36 + 25 = 61
D = (6 + 5)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 5 : a³ + 7 = 5³ + 7 = 125 + 7 = 132
Pour a = 10 : a³ + 7 = 10³ + 7 = 1 000 + 7 = 1 007
Exercice 7 — Correction
1. V = 40³ = 40 × 40 × 40 = 64 000
a) Le volume est de 64 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
64 000 ÷ 1 000 = 64
b) L'aquarium contient 64 litres.
Autre façon de voir : 40 cm, c'est 4 fois 10 cm ; on range 4 × 4 × 4 = 64 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 14 et 43. » → encore 28 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 16, 36.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.