Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (19 − 4) × 4 = 15 × 4 = 60
B = 19 − 4 × 4 = 19 − 16 = 3
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4 × (16 − 9) est un produit : c'est le produit de 4 par la différence entre 16 et 9.
D = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
E = (1 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 154 = 616 ≤ 618 < 620 = 4 × 155 : le quotient est 154, le reste 618 − 616 = 2.
618 = 4 × 154 + 2, avec 2 < 4.
29 × 19 = 551 ≤ 559 < 580 = 29 × 20 : le quotient est 19, le reste 559 − 551 = 8.
559 = 29 × 19 + 8, avec 8 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 173 = 12 × 13 + 17 : le « reste » 17 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(b) 173 = 12 × 15 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 173 = 12 × 14 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 12. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 14, reste 5.
Comme 5 < 14 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 173 par 14 : quotient 12, reste 5.
3. 158 = 12 × 13 + 2
En 13 soirs, elle lit 156 pages ; il lui en reste encore 2.
a) Il lui faut 13 + 1 = 14 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 2 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 446 | oui | non | non | non | non |
| 507 | non | oui | non | non | non |
| 155 | non | non | oui | non | non |
| 6 597 | non | oui | non | oui | non |
| 2 530 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
3 446 → 3 + 4 + 4 + 6 = 17 507 → 5 + 0 + 7 = 12 155 → 1 + 5 + 5 = 11
6 597 → 6 + 5 + 9 + 7 = 27 2 530 → 2 + 5 + 3 + 0 = 10
2. Somme des chiffres : 3 + □ + 9 = 12 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 6 : 18
Une seule solution : 369.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 56 est pair mais 56 = 3 × 18 + 2.
« 245 est un multiple de 9. » Faux. 245 = 9 × 27 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 29 + 7 × 9 = 29 + 63 = 92
B = 40 ÷ 8 × 2 = 5 × 2 = 10
C = 88 − 4 × (10 − 8) = 88 − 4 × 2 = 88 − 8 = 80
D = 3 × [27 − (9 + 6)] = 3 × [27 − 15] = 3 × 12 = 36
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × (5 + 3 + 8) = 7 × (8 + 8) = 7 × 16 = 112
(7 + 7) × 4 − 6 = 14 × 4 − 6 = 56 − 6 = 50
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 32 × 99 = 32 × (100 − 1) = 32 × 100 − 32 × 1 = 3 200 − 32 = 3 168
F = 8 × 61 × 125 = 8 × 125 × 61 = 1 000 × 61 = 61 000
G = 31 × 24 + 31 × 76 = 31 × (24 + 76) = 31 × 100 = 3 100
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 2,5 × 2,5 = 2,5² 3 × 3 = 3²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 6² = 6 × 6 = 36 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
« (5 + 1)² = 5² + 1² » Faux. (5 + 1)² = 6² = 36, alors que 5² + 1² = 25 + 1 = 26.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 26 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 26 < 36 = 6²)
46 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 46 < 49 = 7²) 100 = 10² : carré
117 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 117 < 121 = 11²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 8 = 4 × 36 − 8 = 144 − 8 = 136
B = (4 × 6)² − 8 = 24² − 8 = 576 − 8 = 568
C = 3² + 1² = 9 + 1 = 10
D = (3 + 1)² = 4² = 16
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 2 : (n + 4)² = (2 + 4)² = 6² = 36
Pour n = 10 : (n + 4)² = (10 + 4)² = 14² = 196
Exercice 7 — Correction
1. V = 20³ = 20 × 20 × 20 = 8 000
a) Le volume est de 8 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
8 000 ÷ 1 000 = 8
b) L'aquarium contient 8 litres.
Autre façon de voir : 20 cm, c'est 2 fois 10 cm ; on range 2 × 2 × 2 = 8 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 240 et 291. » → encore 50 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 256, 289.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 256.
Le nombre mystère est 256 (256 = 16²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.