Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 4² + 7² = 16 + 49 = 65
B = (4 + 7)² = 11² = 121
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 56 − 7 × 7 est une différence : c'est la différence entre 56 et le produit de 7 par 7.
D = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
E = 4² + 5² est une somme : c'est la somme des carrés de 4 et de 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 98 = 882 ≤ 886 < 891 = 9 × 99 : le quotient est 98, le reste 886 − 882 = 4.
886 = 9 × 98 + 4, avec 4 < 9.
17 × 60 = 1 020 ≤ 1 030 < 1 037 = 17 × 61 : le quotient est 60, le reste 1 030 − 1 020 = 10.
1 030 = 17 × 60 + 10, avec 10 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 163 = 8 × 20 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 8. ✔
(b) 163 = 8 × 21 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 163 = 8 × 19 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 20, reste 3.
Comme 3 < 20 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 163 par 20 : quotient 8, reste 3.
3. 158 = 12 × 13 + 2, avec 2 < 12
a) Elle remplit 13 boîtes pleines.
b) Il reste 2 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 033 | non | oui | non | oui | non |
| 717 | non | oui | non | non | non |
| 875 | non | non | oui | non | non |
| 7 480 | oui | non | oui | non | oui |
| 5 048 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
3 033 → 3 + 0 + 3 + 3 = 9 717 → 7 + 1 + 7 = 15 875 → 8 + 7 + 5 = 20
7 480 → 7 + 4 + 8 + 0 = 19 5 048 → 5 + 0 + 4 + 8 = 17
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 9 + 5 + □ = 14 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 18
Une seule solution : 954.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 75 est un multiple de 6. » Faux. 75 = 6 × 12 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 35 − 15 + 15 = 20 + 15 = 35
B = 20 + 72 ÷ 8 × 3 = 20 + 9 × 3 = 20 + 27 = 47
C = (2 + 12) × 6 − 12 = 14 × 6 − 12 = 84 − 12 = 72
D = 2 × [28 − (3 + 2)] = 2 × [28 − 5] = 2 × 23 = 46
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × (8 + 4 × 9) = 3 × (8 + 36) = 3 × 44 = 132
3 × (2 + 4 + 5) = 3 × (6 + 5) = 3 × 11 = 33
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2,7 × 1,3 + 2,7 × 8,7 = 2,7 × (1,3 + 8,7) = 2,7 × 10 = 27
F = 26 × 11 = 26 × (10 + 1) = 26 × 10 + 26 × 1 = 260 + 26 = 286
G = 4 × 71 × 25 = 4 × 25 × 71 = 100 × 71 = 7 100
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 = 4² 1,5 × 1,5 = 1,5² 5 × 5 × 5 = 5³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 11² = 11 × 11 = 121 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 3 × 6² = 18² » Faux. 3 × 6² = 3 × 36 = 108, alors que 18² = 324. Le carré ne porte que sur 6.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
10 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 10 < 16 = 4²) 16 = 4² : carré
49 = 7² : carré 79 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 79 < 81 = 9²)
87 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 87 < 100 = 10²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 2² − 2 = 2 × 4 − 2 = 8 − 2 = 6
B = (2 × 2)² − 2 = 4² − 2 = 16 − 2 = 14
C = 3² + 6² = 9 + 36 = 45
D = (3 + 6)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 6 : n² + 6 = 6² + 6 = 36 + 6 = 42 et 7n = 7 × 6 = 42.
42 = 42 : l'égalité est vraie pour n = 6.
Pour n = 2 : n² + 6 = 2² + 6 = 4 + 6 = 10 et 7n = 7 × 2 = 14.
10 ≠ 14 : l'égalité est fausse pour n = 2.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 1, et seulement pour 6 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 9² = π × 81 = 81π
a) L'aire exacte est 81π m².
81 × 3,14 = 254,34
b) L'aire vaut environ 254 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 9², et non (π × 9)². On élève 9 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 20 et 46. » → encore 25 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 25, 36.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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