Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (25 − 3) × 5 = 22 × 5 = 110
B = 25 − 3 × 5 = 25 − 15 = 10
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (1 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 2.
D = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
E = 9² − 50 est une différence : c'est la différence entre le carré de 9 et 50.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 88 = 792 ≤ 798 < 801 = 9 × 89 : le quotient est 88, le reste 798 − 792 = 6.
798 = 9 × 88 + 6, avec 6 < 9.
17 × 54 = 918 ≤ 923 < 935 = 17 × 55 : le quotient est 54, le reste 923 − 918 = 5.
923 = 17 × 54 + 5, avec 5 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 257 = 13 × 20 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 257 = 13 × 19 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 13. ✔
(c) 257 = 13 × 18 + 23 : le « reste » 23 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 19, reste 10.
Comme 10 < 19 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 257 par 19 : quotient 13, reste 10.
3. 52 = 7 × 7 + 3, avec 3 < 7
a) Chaque joueur reçoit 7 cartes.
b) La pioche contient 3 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 7 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 244 | oui | non | non | non | non |
| 8 570 | oui | non | oui | non | oui |
| 865 | non | non | oui | non | non |
| 6 183 | non | oui | non | oui | non |
| 471 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
9 244 → 9 + 2 + 4 + 4 = 19 8 570 → 8 + 5 + 7 + 0 = 20 865 → 8 + 6 + 5 = 19
6 183 → 6 + 1 + 8 + 3 = 18 471 → 4 + 7 + 1 = 12
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 6 = 14 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 4 : 18
Une seule solution : 846.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 747, somme des chiffres 18.
« 3 est un diviseur de 45. » Vrai. 45 = 3 × 15 : le reste de la division de 45 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 28 − 10 + 8 = 18 + 8 = 26
B = 10 ÷ 2 × 5 = 5 × 5 = 25
C = 84 − 5 × (12 − 7) = 84 − 5 × 5 = 84 − 25 = 59
D = [9 + 2 × (7 − 5)] ÷ 2 = [9 + 2 × 2] ÷ 2 = [9 + 4] ÷ 2 = 13 ÷ 2 = 6,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(9 − 5 + 6) × 3 = (4 + 6) × 3 = 10 × 3 = 30
4 − (2 + 7 − 8) = 4 − (9 − 8) = 4 − 1 = 3
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 38 × 99 = 38 × (100 − 1) = 38 × 100 − 38 × 1 = 3 800 − 38 = 3 762
F = 22 × 48 − 22 × 38 = 22 × (48 − 38) = 22 × 10 = 220
G = 2 × 31 × 5 = 2 × 5 × 31 = 10 × 31 = 310
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 7 × 7 = 7² 2,5 × 2,5 = 2,5² 2 × 2 × 2 = 2³
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 9² = 9 × 9 = 81 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« (3 + 4)² = 3² + 4² » Faux. (3 + 4)² = 7² = 49, alors que 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
49 = 7² : carré 60 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 60 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 81 = 9² : carré
96 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 96 < 100 = 10²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 5 = 3 × 9 − 5 = 27 − 5 = 22
B = (3 × 3)² − 5 = 9² − 5 = 81 − 5 = 76
C = 6² + 4² = 36 + 16 = 52
D = (6 + 4)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 6 : n² + 12 = 6² + 12 = 36 + 12 = 48 et 8n = 8 × 6 = 48.
48 = 48 : l'égalité est vraie pour n = 6.
Pour n = 5 : n² + 12 = 5² + 12 = 25 + 12 = 37 et 8n = 8 × 5 = 40.
37 ≠ 40 : l'égalité est fausse pour n = 5.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 2, et seulement pour 6 et 2.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 49 : 7 × 7 = 49, c'est-à-dire 7² = 49.
a) Le côté mesure 7 m.
4 × 7 = 28
b) Le périmètre est de 28 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 58. » → encore 56 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Mon chiffre des unités est 7. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.