Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 21 + 27 ÷ 3 = 21 + 9 = 30
B = (21 + 27) ÷ 3 = 48 ÷ 3 = 16
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 2)² est un carré : c'est le carré de la somme de 3 et 2.
D = 4 + 3 × 9 est une somme : c'est la somme de 4 et du produit de 3 par 9.
E = 26 − 3 × 5 est une différence : c'est la différence entre 26 et le produit de 3 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 52 = 312 ≤ 313 < 318 = 6 × 53 : le quotient est 52, le reste 313 − 312 = 1.
313 = 6 × 52 + 1, avec 1 < 6.
13 × 158 = 2 054 ≤ 2 061 < 2 067 = 13 × 159 : le quotient est 158, le reste 2 061 − 2 054 = 7.
2 061 = 13 × 158 + 7, avec 7 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 355 = 13 × 28 − 9 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 355 = 13 × 26 + 17 : le « reste » 17 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(c) 355 = 13 × 27 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 13. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 27, reste 4.
Comme 4 < 27 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 355 par 27 : quotient 13, reste 4.
3. 246 = 7 × 35 + 1
a) 246 jours font 35 semaines complètes et 1 jour.
Après 35 semaines complètes, on est de nouveau jeudi. Il reste à avancer de 1 jour : jeudi → vendredi.
b) Dans 246 jours, nous serons vendredi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 325 | non | non | oui | non | non |
| 5 589 | non | oui | non | oui | non |
| 1 890 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 2 086 | oui | non | non | non | non |
| 771 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
325 → 3 + 2 + 5 = 10 5 589 → 5 + 5 + 8 + 9 = 27 1 890 → 1 + 8 + 9 + 0 = 18
2 086 → 2 + 0 + 8 + 6 = 16 771 → 7 + 7 + 1 = 15
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 1 = 7 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 2 : 9
Une seule solution : 621.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 83 se termine par 3, mais 83 = 3 × 27 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 60 est un multiple de 4. » Vrai. 60 = 4 × 15 : le reste de la division de 60 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 39 − 13 + 6 = 26 + 6 = 32
B = 40 ÷ 8 × 5 = 5 × 5 = 25
C = 98 − 2 × (13 − 2) = 98 − 2 × 11 = 98 − 22 = 76
D = [7 + 9 × (9 − 1)] ÷ 5 = [7 + 9 × 8] ÷ 5 = [7 + 72] ÷ 5 = 79 ÷ 5 = 15,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(6 + 4) × 9 − 2 = 10 × 9 − 2 = 90 − 2 = 88
8 + 3 − (6 + 2) = 8 + 3 − 8 = 11 − 8 = 3
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 47 × 101 = 47 × (100 + 1) = 47 × 100 + 47 × 1 = 4 700 + 47 = 4 747
F = 18 + 3,45 + 82 = 18 + 82 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
G = 4,5 × 1,3 + 4,5 × 8,7 = 4,5 × (1,3 + 8,7) = 4,5 × 10 = 45
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 6 × 6 = 6² 3 × 3 × 3 = 3³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 6² = 6 × 6 = 36 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 7² = 14 » Faux. 7² = 7 × 7 = 49. L'exposant ne multiplie pas : 7 × 2 = 14, c'est le double.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 36 = 6² : carré
39 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 39 < 49 = 7²) 83 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 83 < 100 = 10²)
145 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 145 < 169 = 13²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 5² − 9 = 3 × 25 − 9 = 75 − 9 = 66
B = (3 × 5)² − 9 = 15² − 9 = 225 − 9 = 216
C = 4² + 2² = 16 + 4 = 20
D = (4 + 2)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 8 : x² + 18 = 8² + 18 = 64 + 18 = 82 et 9x = 9 × 8 = 72.
82 ≠ 72 : l'égalité est fausse pour x = 8.
Pour x = 6 : x² + 18 = 6² + 18 = 36 + 18 = 54 et 9x = 9 × 6 = 54.
54 = 54 : l'égalité est vraie pour x = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 3, et seulement pour 6 et 3.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 6 petits cubes sur 6 : 6² = 6 × 6 = 36.
a) On voit 36 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 6 couches de 36 petits cubes : 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
b) Il a utilisé 216 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 6 − 2 = 4 petits cubes d'arête. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
c) 64 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 17 et 60. » → encore 42 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 25, 36, 49.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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