Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (6 + 5)² = 11² = 121
B = 6² + 5² = 36 + 25 = 61
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (8 + 9) × 5 est un produit : c'est le produit de la somme de 8 et 9 par 5.
D = 3 + 12 ÷ 4 est une somme : c'est la somme de 3 et du quotient de 12 par 4.
E = (8 + 19) ÷ 9 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 8 et 19 par 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 27 = 189 ≤ 194 < 196 = 7 × 28 : le quotient est 27, le reste 194 − 189 = 5.
194 = 7 × 27 + 5, avec 5 < 7.
21 × 87 = 1 827 ≤ 1 846 < 1 848 = 21 × 88 : le quotient est 87, le reste 1 846 − 1 827 = 19.
1 846 = 21 × 87 + 19, avec 19 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 367 = 9 × 40 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 9. ✔
(b) 367 = 9 × 39 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(c) 367 = 9 × 41 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 40, reste 7.
Comme 7 < 40 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 367 par 40 : quotient 9, reste 7.
3. 117 = 15 × 7 + 12
En 7 soirs, elle lit 105 pages ; il lui en reste encore 12.
a) Il lui faut 7 + 1 = 8 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 12 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 570 | oui | oui | oui | non | oui |
| 9 448 | oui | non | non | non | non |
| 4 887 | non | oui | non | oui | non |
| 957 | non | oui | non | non | non |
| 295 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
9 570 → 9 + 5 + 7 + 0 = 21 9 448 → 9 + 4 + 4 + 8 = 25 4 887 → 4 + 8 + 8 + 7 = 27
957 → 9 + 5 + 7 = 21 295 → 2 + 9 + 5 = 16
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 1 = 2 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 7 : 9
Une seule solution : 171.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 12 est divisible par 3 (12 = 3 × 4) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 3, n'est pas dans la table de 9).
« 114 est un multiple de 6. » Vrai. 114 = 6 × 19 : le reste de la division de 114 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 35 − 8 + 5 = 27 + 5 = 32
B = 2 + 30 ÷ 6 × 3 = 2 + 5 × 3 = 2 + 15 = 17
C = (9 + 11) × 3 − 9 = 20 × 3 − 9 = 60 − 9 = 51
D = 2,3 + 5 × 0,2 = 2,3 + 1 = 3,3
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(9 × 3 + 4) × 6 = (27 + 4) × 6 = 31 × 6 = 186
8 × (9 + 3 − 7) = 8 × (12 − 7) = 8 × 5 = 40
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 39 × 39 − 39 × 29 = 39 × (39 − 29) = 39 × 10 = 390
F = 2 × 43 × 5 = 2 × 5 × 43 = 10 × 43 = 430
G = 20 × 99 = 20 × (100 − 1) = 20 × 100 − 20 × 1 = 2 000 − 20 = 1 980
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 6 × 6 = 6² 1,5 × 1,5 = 1,5²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 9² = 9 × 9 = 81 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« (1 + 3)² = 1² + 3² » Faux. (1 + 3)² = 4² = 16, alors que 1² + 3² = 1 + 9 = 10.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 41 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 41 < 49 = 7²)
55 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 55 < 64 = 8²) 62 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 62 < 64 = 8²)
81 = 9² : carré 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 4² − 6 = 5 × 16 − 6 = 80 − 6 = 74
B = (5 × 4)² − 6 = 20² − 6 = 400 − 6 = 394
C = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
D = (3 + 4)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 2 : 5x² = 5 × 2² = 5 × 4 = 20
Pour x = 10 : 5x² = 5 × 10² = 5 × 100 = 500
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 7² = π × 49 = 49π
a) L'aire exacte est 49π m².
49 × 3,14 = 153,86
b) L'aire vaut environ 154 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 7², et non (π × 7)². On élève 7 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 14 et 79. » → encore 64 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36, 49, 64.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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