Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (16 − 2) × 3 = 14 × 3 = 42
B = 16 − 2 × 3 = 16 − 6 = 10
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (10 + 2) ÷ 3 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 10 et 2 par 3.
D = 30 − 6 × 4 est une différence : c'est la différence entre 30 et le produit de 6 par 4.
E = 8 × (18 − 11) est un produit : c'est le produit de 8 par la différence entre 18 et 11.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 226 = 904 ≤ 905 < 908 = 4 × 227 : le quotient est 226, le reste 905 − 904 = 1.
905 = 4 × 226 + 1, avec 1 < 4.
29 × 45 = 1 305 ≤ 1 319 < 1 334 = 29 × 46 : le quotient est 45, le reste 1 319 − 1 305 = 14.
1 319 = 29 × 45 + 14, avec 14 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 219 = 7 × 30 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(b) 219 = 7 × 31 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 7. ✔
(c) 219 = 7 × 32 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 31, reste 2.
Comme 2 < 31 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 219 par 31 : quotient 7, reste 2.
3. 108 = 7 × 15 + 3, avec 3 < 7
a) Chaque joueur reçoit 15 cartes.
b) La pioche contient 3 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 7 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 565 | non | non | oui | non | non |
| 8 289 | non | oui | non | oui | non |
| 6 320 | oui | non | oui | non | oui |
| 897 | non | oui | non | non | non |
| 2 458 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
565 → 5 + 6 + 5 = 16 8 289 → 8 + 2 + 8 + 9 = 27 6 320 → 6 + 3 + 2 + 0 = 11
897 → 8 + 9 + 7 = 24 2 458 → 2 + 4 + 5 + 8 = 19
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 5 + 3 + □ = 8 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 12
Une seule solution : 534.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 22 est pair mais 22 = 3 × 7 + 1.
« 6 est un diviseur de 120. » Vrai. 120 = 6 × 20 : le reste de la division de 120 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 43 − 10 + 15 = 33 + 15 = 48
B = 13 + 18 ÷ 2 × 2 = 13 + 9 × 2 = 13 + 18 = 31
C = 91 − 2 × (10 − 8) = 91 − 2 × 2 = 91 − 4 = 87
D = [4 + 8 × (9 − 3)] ÷ 5 = [4 + 8 × 6] ÷ 5 = [4 + 48] ÷ 5 = 52 ÷ 5 = 10,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 + 9 − (9 + 2) = 4 + 9 − 11 = 13 − 11 = 2
(2 + 3) × 2 − 4 = 5 × 2 − 4 = 10 − 4 = 6
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 68 + 12,6 + 32 = 68 + 32 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
F = 46 × 11 = 46 × (10 + 1) = 46 × 10 + 46 × 1 = 460 + 46 = 506
G = 30 × 77 − 30 × 67 = 30 × (77 − 67) = 30 × 10 = 300
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 4 × 4 × 4 = 4³ 11 × 11 = 11²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 12² = 12 × 12 = 144 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 3² = 4 + 9 = 13, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
23 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 23 < 25 = 5²) 25 = 5² : carré
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
134 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 134 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 5 = 3 × 16 − 5 = 48 − 5 = 43
B = (3 × 4)² − 5 = 12² − 5 = 144 − 5 = 139
C = 3² + 6² = 9 + 36 = 45
D = (3 + 6)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 3x² − 2 = 3 × 2² − 2 = 3 × 4 − 2 = 12 − 2 = 10
B = (3x)² − 2 = (3 × 2)² − 2 = 6² − 2 = 36 − 2 = 34
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 3x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 144 : 12 × 12 = 144, c'est-à-dire 12² = 144.
a) Le côté mesure 12 m.
4 × 12 = 48
b) Le périmètre est de 48 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 97 et 145. » → encore 47 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121, 144.
« Mon chiffre des unités est 1. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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