Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 15 + 5 × 5 = 15 + 25 = 40
B = (15 + 5) × 5 = 20 × 5 = 100
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 × (16 − 11) est un produit : c'est le produit de 5 par la différence entre 16 et 11.
D = (40 + 16) ÷ 8 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 40 et 16 par 8.
E = (2 + 6)² est un carré : c'est le carré de la somme de 2 et 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 103 = 515 ≤ 519 < 520 = 5 × 104 : le quotient est 103, le reste 519 − 515 = 4.
519 = 5 × 103 + 4, avec 4 < 5.
12 × 184 = 2 208 ≤ 2 210 < 2 220 = 12 × 185 : le quotient est 184, le reste 2 210 − 2 208 = 2.
2 210 = 12 × 184 + 2, avec 2 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 304 = 13 × 22 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(b) 304 = 13 × 24 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 304 = 13 × 23 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 13. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 23, reste 5.
Comme 5 < 23 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 304 par 23 : quotient 13, reste 5.
3. 63 = 8 × 7 + 7
7 minibus pleins transportent 56 élèves ; il en reste 7 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 7 + 1 = 8 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 7 = 1 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 591 | non | oui | non | non | non |
| 9 333 | non | oui | non | oui | non |
| 325 | non | non | oui | non | non |
| 9 250 | oui | non | oui | non | oui |
| 2 632 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
591 → 5 + 9 + 1 = 15 9 333 → 9 + 3 + 3 + 3 = 18 325 → 3 + 2 + 5 = 10
9 250 → 9 + 2 + 5 + 0 = 16 2 632 → 2 + 6 + 3 + 2 = 13
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 0 = 4 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 5 : 9
Une seule solution : 450.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 13 se termine par 3, mais 13 = 3 × 4 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 9 est un diviseur de 188. » Faux. 188 = 9 × 20 + 8 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 19 + 6 × 4 = 19 + 24 = 43
B = 12 ÷ 6 × 3 = 2 × 3 = 6
C = 57 − 3 × (11 − 8) = 57 − 3 × 3 = 57 − 9 = 48
D = 4,3 + 6 × 1,5 = 4,3 + 9 = 13,3
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(4 − 2 + 6) × 2 = (2 + 6) × 2 = 8 × 2 = 16
6 + 3 − (2 + 6) = 6 + 3 − 8 = 9 − 8 = 1
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4,5 × 0,25 + 4,5 × 0,75 = 4,5 × (0,25 + 0,75) = 4,5 × 1 = 4,5
F = 19 × 11 = 19 × (10 + 1) = 19 × 10 + 19 × 1 = 190 + 19 = 209
G = 2 × 54 × 50 = 2 × 50 × 54 = 100 × 54 = 5 400
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 8 × 8 = 8² 1,1 × 1,1 = 1,1² 6 × 6 × 6 = 6³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 3² = 6 » Faux. 3² = 3 × 3 = 9. L'exposant ne multiplie pas : 3 × 2 = 6, c'est le double.
« 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 27 = 3³ : cube
29 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 29 < 36 = 6²) 36 = 6² : carré
60 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 60 < 64 = 8²) 138 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 138 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 2² − 3 = 3 × 4 − 3 = 12 − 3 = 9
B = (3 × 2)² − 3 = 6² − 3 = 36 − 3 = 33
C = 4² + 5² = 16 + 25 = 41
D = (4 + 5)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 8 : x² + 15 = 8² + 15 = 64 + 15 = 79 et 8x = 8 × 8 = 64.
79 ≠ 64 : l'égalité est fausse pour x = 8.
Pour x = 5 : x² + 15 = 5² + 15 = 25 + 15 = 40 et 8x = 8 × 5 = 40.
40 = 40 : l'égalité est vraie pour x = 5.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 3, et seulement pour 5 et 3.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 4 petits cubes sur 4 : 4² = 4 × 4 = 16.
a) On voit 16 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 4 couches de 16 petits cubes : 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
b) Il a utilisé 64 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 4 − 2 = 2 petits cubes d'arête. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
c) 8 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 89 et 147. » → encore 57 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121, 144.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 121, 144.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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