Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (12 + 8) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5
B = 12 + 8 ÷ 4 = 12 + 2 = 14
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 × 8² − 15 est une différence : c'est la différence entre le produit de 5 par le carré de 8 et 15.
D = (2 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 1.
E = 3² + 5² est une somme : c'est la somme des carrés de 3 et de 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 70 = 630 ≤ 638 < 639 = 9 × 71 : le quotient est 70, le reste 638 − 630 = 8.
638 = 9 × 70 + 8, avec 8 < 9.
19 × 28 = 532 ≤ 550 < 551 = 19 × 29 : le quotient est 28, le reste 550 − 532 = 18.
550 = 19 × 28 + 18, avec 18 < 19.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 171 = 11 × 14 + 17 : le « reste » 17 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(b) 171 = 11 × 15 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 11. ✔
(c) 171 = 11 × 16 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 15, reste 6.
Comme 6 < 15 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 171 par 15 : quotient 11, reste 6.
3. 254 = 25 × 10 + 4
En 10 soirs, elle lit 250 pages ; il lui en reste encore 4.
a) Il lui faut 10 + 1 = 11 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 4 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 715 | non | non | oui | non | non |
| 897 | non | oui | non | non | non |
| 6 970 | oui | non | oui | non | oui |
| 4 041 | non | oui | non | oui | non |
| 4 442 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
715 → 7 + 1 + 5 = 13 897 → 8 + 9 + 7 = 24 6 970 → 6 + 9 + 7 + 0 = 22
4 041 → 4 + 0 + 4 + 1 = 9 4 442 → 4 + 4 + 4 + 2 = 14
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 4 + 5 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9 ; □ = 6 : 15
2 solutions : 450, 456.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 23 se termine par 3, mais 23 = 3 × 7 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 171 est un multiple de 9. » Vrai. 171 = 9 × 19 : le reste de la division de 171 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 3 + 2 × 3 = 3 + 6 = 9
B = 9 × 9 − 3 × 5 = 81 − 15 = 66
C = (2 + 12) × 3 − 11 = 14 × 3 − 11 = 42 − 11 = 31
D = 3,3 + 6 × 1,5 = 3,3 + 9 = 12,3
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(9 + 3) × 4 × 2 = 12 × 4 × 2 = 48 × 2 = 96
2 × 9 − (9 − 8) = 2 × 9 − 1 = 18 − 1 = 17
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 16 × 99 = 16 × (100 − 1) = 16 × 100 − 16 × 1 = 1 600 − 16 = 1 584
F = 22 + 5,05 + 78 = 22 + 78 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
G = 37 × 87 + 37 × 13 = 37 × (87 + 13) = 37 × 100 = 3 700
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2 × 2 × 2 = 2³ 8 × 8 = 8² 1,1 × 1,1 = 1,1²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 9² = 9 × 9 = 81 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « (4 + 3)² = 4² + 3² » Faux. (4 + 3)² = 7² = 49, alors que 4² + 3² = 16 + 9 = 25.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 3 × 6² = 18² » Faux. 3 × 6² = 3 × 36 = 108, alors que 18² = 324. Le carré ne porte que sur 6.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 25 = 5² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 87 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 87 < 100 = 10²)
118 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 118 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 6 = 4 × 36 − 6 = 144 − 6 = 138
B = (4 × 6)² − 6 = 24² − 6 = 576 − 6 = 570
C = 5² + 1² = 25 + 1 = 26
D = (5 + 1)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 4 : n² + 6n = 4² + 6 × 4 = 16 + 6 × 4 = 16 + 24 = 40
Pour n = 10 : n² + 6n = 10² + 6 × 10 = 100 + 6 × 10 = 100 + 60 = 160
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
2 × 5 = 10
a) Il faut 10 carreaux le long d'un côté.
10 rangées de 10 carreaux : 10² = 10 × 10 = 100
b) Il faut 100 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 158 et 203. » → encore 44 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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