Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 21 − 6 × 2 = 21 − 12 = 9
B = (21 − 6) × 2 = 15 × 2 = 30
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4 × 9² − 5 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 9 et 5.
D = 2 × 4² est un produit : c'est le double du carré de 4.
E = (2 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 76 = 456 ≤ 459 < 462 = 6 × 77 : le quotient est 76, le reste 459 − 456 = 3.
459 = 6 × 76 + 3, avec 3 < 6.
13 × 113 = 1 469 ≤ 1 479 < 1 482 = 13 × 114 : le quotient est 113, le reste 1 479 − 1 469 = 10.
1 479 = 13 × 113 + 10, avec 10 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 322 = 11 × 30 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 322 = 11 × 28 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 322 = 11 × 29 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 11. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 29, reste 3.
Comme 3 < 29 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 322 par 29 : quotient 11, reste 3.
3. 30 = 8 × 3 + 6
3 minibus pleins transportent 24 élèves ; il en reste 6 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 3 + 1 = 4 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 6 = 2 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 506 | oui | non | non | non | non |
| 651 | non | oui | non | non | non |
| 775 | non | non | oui | non | non |
| 6 183 | non | oui | non | oui | non |
| 7 850 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
6 506 → 6 + 5 + 0 + 6 = 17 651 → 6 + 5 + 1 = 12 775 → 7 + 7 + 5 = 19
6 183 → 6 + 1 + 8 + 3 = 18 7 850 → 7 + 8 + 5 + 0 = 20
2. Somme des chiffres : 2 + □ + 3 = 5 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 6 ; □ = 4 : 9 ; □ = 7 : 12
3 solutions : 213, 243, 273.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 88 est pair mais 88 = 3 × 29 + 1.
« 7 est un diviseur de 171. » Faux. 171 = 7 × 24 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 27 + 9 × 5 = 27 + 45 = 72
B = 14 + 49 ÷ 7 × 4 = 14 + 7 × 4 = 14 + 28 = 42
C = (8 + 7) × 5 − 3 = 15 × 5 − 3 = 75 − 3 = 72
D = [6 + 4 × (10 − 4)] ÷ 5 = [6 + 4 × 6] ÷ 5 = [6 + 24] ÷ 5 = 30 ÷ 5 = 6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × 7 × (4 − 3) = 4 × 7 × 1 = 28 × 1 = 28
(9 + 5 + 4) × 9 = (14 + 4) × 9 = 18 × 9 = 162
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 8 × 46 × 125 = 8 × 125 × 46 = 1 000 × 46 = 46 000
F = 3,6 × 0,4 + 3,6 × 0,6 = 3,6 × (0,4 + 0,6) = 3,6 × 1 = 3,6
G = 28 × 99 = 28 × (100 − 1) = 28 × 100 − 28 × 1 = 2 800 − 28 = 2 772
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 × 6 = 6³ 12 × 12 = 12² 0,7 × 0,7 = 0,7²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 6² = 6 × 6 = 36 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 4 × 5² = 20² » Faux. 4 × 5² = 4 × 25 = 100, alors que 20² = 400. Le carré ne porte que sur 5.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
23 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 23 < 25 = 5²) 32 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 32 < 36 = 6²)
36 = 6² : carré 100 = 10² : carré
113 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 113 < 121 = 11²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 6² − 5 = 5 × 36 − 5 = 180 − 5 = 175
B = (5 × 6)² − 5 = 30² − 5 = 900 − 5 = 895
C = 7² + 2² = 49 + 4 = 53
D = (7 + 2)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 8 : x² + 10 = 8² + 10 = 64 + 10 = 74 et 7x = 7 × 8 = 56.
74 ≠ 56 : l'égalité est fausse pour x = 8.
Pour x = 2 : x² + 10 = 2² + 10 = 4 + 10 = 14 et 7x = 7 × 2 = 14.
14 = 14 : l'égalité est vraie pour x = 2.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 5, et seulement pour 2 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 4² = π × 16 = 16π
a) L'aire exacte est 16π m².
16 × 3,14 = 50,24
b) L'aire vaut environ 50 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 4², et non (π × 4)². On élève 4 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 64 et 106. » → encore 41 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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