Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (5 + 7)² = 12² = 144
B = 5² + 7² = 25 + 49 = 74
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 7 × (8 − 5) est un produit : c'est le produit de 7 par la différence entre 8 et 5.
D = 3 × 4² − 18 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 4 et 18.
E = 13 + 20 ÷ 4 est une somme : c'est la somme de 13 et du quotient de 20 par 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 59 = 177 ≤ 178 < 180 = 3 × 60 : le quotient est 59, le reste 178 − 177 = 1.
178 = 3 × 59 + 1, avec 1 < 3.
16 × 34 = 544 ≤ 559 < 560 = 16 × 35 : le quotient est 34, le reste 559 − 544 = 15.
559 = 16 × 34 + 15, avec 15 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 263 = 13 × 20 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 13. ✔
(b) 263 = 13 × 21 − 10 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 263 = 13 × 19 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 20, reste 3.
Comme 3 < 20 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 263 par 20 : quotient 13, reste 3.
3. 55 = 9 × 6 + 1
6 minibus pleins transportent 54 élèves ; il en reste 1 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 6 + 1 = 7 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 9 − 1 = 8 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 681 | non | oui | non | non | non |
| 445 | non | non | oui | non | non |
| 8 163 | non | oui | non | oui | non |
| 7 502 | oui | non | non | non | non |
| 5 770 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
681 → 6 + 8 + 1 = 15 445 → 4 + 4 + 5 = 13 8 163 → 8 + 1 + 6 + 3 = 18
7 502 → 7 + 5 + 0 + 2 = 14 5 770 → 5 + 7 + 7 + 0 = 19
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 9 = 17 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 1 : 18
Une seule solution : 819.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 93 est divisible par 3 (93 = 3 × 31) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 4 est un diviseur de 49. » Faux. 49 = 4 × 12 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 82 − 3 × 9 = 82 − 27 = 55
B = 7 + 16 ÷ 8 × 2 = 7 + 2 × 2 = 7 + 4 = 11
C = 66 − 4 × (20 − 6) = 66 − 4 × 14 = 66 − 56 = 10
D = 2 × [34 − (4 + 4)] = 2 × [34 − 8] = 2 × 26 = 52
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 + 8 − (8 − 5) = 5 + 8 − 3 = 13 − 3 = 10
(2 + 2 × 3) × 9 = (2 + 6) × 9 = 8 × 9 = 72
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 21 × 101 = 21 × (100 + 1) = 21 × 100 + 21 × 1 = 2 100 + 21 = 2 121
F = 38 × 19 + 38 × 81 = 38 × (19 + 81) = 38 × 100 = 3 800
G = 8 × 20 × 125 = 8 × 125 × 20 = 1 000 × 20 = 20 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 = 6² 2,5 × 2,5 = 2,5² 2 × 2 × 2 = 2³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 12² = 12 × 12 = 144 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 7² = 14 » Faux. 7² = 7 × 7 = 49. L'exposant ne multiplie pas : 7 × 2 = 14, c'est le double.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 3² = 1 + 9 = 10, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 106 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 106 < 121 = 11²)
125 = 5³ : cube 140 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 140 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 7 = 5 × 25 − 7 = 125 − 7 = 118
B = (5 × 5)² − 7 = 25² − 7 = 625 − 7 = 618
C = 5² + 4² = 25 + 16 = 41
D = (5 + 4)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 3 : x² + 15 = 3² + 15 = 9 + 15 = 24 et 8x = 8 × 3 = 24.
24 = 24 : l'égalité est vraie pour x = 3.
Pour x = 2 : x² + 15 = 2² + 15 = 4 + 15 = 19 et 8x = 8 × 2 = 16.
19 ≠ 16 : l'égalité est fausse pour x = 2.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 5, et seulement pour 3 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 3 petits cubes sur 3 : 3² = 3 × 3 = 9.
a) On voit 9 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 3 couches de 9 petits cubes : 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
b) Il a utilisé 27 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 3 − 2 = 1 petits cubes d'arête. 1³ = 1 × 1 × 1 = 1.
c) 1 petit cube n'a aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 10 et 46. » → encore 35 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.