Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (6 + 1)² = 7² = 49
B = 6² + 1² = 36 + 1 = 37
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4² + 2² est une somme : c'est la somme des carrés de 4 et de 2.
D = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
E = 41 − 3 × 7 est une différence : c'est la différence entre 41 et le produit de 3 par 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 19 = 152 ≤ 156 < 160 = 8 × 20 : le quotient est 19, le reste 156 − 152 = 4.
156 = 8 × 19 + 4, avec 4 < 8.
29 × 73 = 2 117 ≤ 2 134 < 2 146 = 29 × 74 : le quotient est 73, le reste 2 134 − 2 117 = 17.
2 134 = 29 × 73 + 17, avec 17 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 183 = 6 × 29 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(b) 183 = 6 × 30 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 6. ✔
(c) 183 = 6 × 31 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 30, reste 3.
Comme 3 < 30 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 183 par 30 : quotient 6, reste 3.
3. 94 = 12 × 7 + 10, avec 10 < 12
a) Elle remplit 7 boîtes pleines.
b) Il reste 10 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 295 | non | non | oui | non | non |
| 9 030 | oui | oui | oui | non | oui |
| 6 777 | non | oui | non | oui | non |
| 471 | non | oui | non | non | non |
| 2 764 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
295 → 2 + 9 + 5 = 16 9 030 → 9 + 0 + 3 + 0 = 12 6 777 → 6 + 7 + 7 + 7 = 27
471 → 4 + 7 + 1 = 12 2 764 → 2 + 7 + 6 + 4 = 19
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 4 = 10 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 8 : 18
Une seule solution : 684.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 171, somme des chiffres 9.
« 5 est un diviseur de 135. » Vrai. 135 = 5 × 27 : le reste de la division de 135 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 7 + 4 × 5 = 7 + 20 = 27
B = 9 + 32 ÷ 4 × 2 = 9 + 8 × 2 = 9 + 16 = 25
C = 54 − 4 × (16 − 3) = 54 − 4 × 13 = 54 − 52 = 2
D = 2,9 + 3 × 1,5 = 2,9 + 4,5 = 7,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(7 + 3) × 4 − 8 = 10 × 4 − 8 = 40 − 8 = 32
(8 + 3) × 9 − 3 = 11 × 9 − 3 = 99 − 3 = 96
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 44 × 99 = 44 × (100 − 1) = 44 × 100 − 44 × 1 = 4 400 − 44 = 4 356
F = 70 + 0,75 + 30 = 70 + 30 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
G = 45 × 24 + 45 × 76 = 45 × (24 + 76) = 45 × 100 = 4 500
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 2 × 2 × 2 = 2³ 12 × 12 = 12²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
« 2 × 6² = 12² » Faux. 2 × 6² = 2 × 36 = 72, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 6.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
24 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 24 < 25 = 5²) 67 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 67 < 81 = 9²)
81 = 9² : carré 107 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 107 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 4 = 4 × 4 − 4 = 16 − 4 = 12
B = (4 × 2)² − 4 = 8² − 4 = 64 − 4 = 60
C = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
D = (4 + 3)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 3 : n² + 20 = 3² + 20 = 9 + 20 = 29 et 9n = 9 × 3 = 27.
29 ≠ 27 : l'égalité est fausse pour n = 3.
Pour n = 5 : n² + 20 = 5² + 20 = 25 + 20 = 45 et 9n = 9 × 5 = 45.
45 = 45 : l'égalité est vraie pour n = 5.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 4, et seulement pour 5 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 4² = π × 16 = 16π
a) L'aire exacte est 16π m².
16 × 3,14 = 50,24
b) L'aire vaut environ 50 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 4², et non (π × 4)². On élève 4 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 63. » → encore 61 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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