Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 4² = 2 × 16 = 32
B = (2 × 4)² = 8² = 64
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (5 + 3)² est un carré : c'est le carré de la somme de 5 et 3.
D = (3 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 1.
E = 8² − 57 est une différence : c'est la différence entre le carré de 8 et 57.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 82 = 656 ≤ 661 < 664 = 8 × 83 : le quotient est 82, le reste 661 − 656 = 5.
661 = 8 × 82 + 5, avec 5 < 8.
27 × 59 = 1 593 ≤ 1 597 < 1 620 = 27 × 60 : le quotient est 59, le reste 1 597 − 1 593 = 4.
1 597 = 27 × 59 + 4, avec 4 < 27.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 139 = 7 × 20 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 139 = 7 × 18 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(c) 139 = 7 × 19 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 7. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 19, reste 6.
Comme 6 < 19 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 139 par 19 : quotient 7, reste 6.
3. 32 = 5 × 6 + 2, avec 2 < 5
a) Chaque joueur reçoit 6 cartes.
b) La pioche contient 2 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 5 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 332 | oui | non | non | non | non |
| 8 847 | non | oui | non | oui | non |
| 8 700 | oui | oui | oui | non | oui |
| 537 | non | oui | non | non | non |
| 425 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
3 332 → 3 + 3 + 3 + 2 = 11 8 847 → 8 + 8 + 4 + 7 = 27 8 700 → 8 + 7 + 0 + 0 = 15
537 → 5 + 3 + 7 = 15 425 → 4 + 2 + 5 = 11
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 3 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 1 : 9
Une seule solution : 513.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 53 se termine par 3, mais 53 = 3 × 17 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 144 est un multiple de 8. » Vrai. 144 = 8 × 18 : le reste de la division de 144 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 44 − 2 × 4 = 44 − 8 = 36
B = 14 + 35 ÷ 7 × 4 = 14 + 5 × 4 = 14 + 20 = 34
C = (12 + 6) × 6 − 20 = 18 × 6 − 20 = 108 − 20 = 88
D = [4 + 3 × (8 − 4)] ÷ 5 = [4 + 3 × 4] ÷ 5 = [4 + 12] ÷ 5 = 16 ÷ 5 = 3,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(2 + 6) × 2 + 2 = 8 × 2 + 2 = 16 + 2 = 18
7 × (7 × 3 − 3) = 7 × (21 − 3) = 7 × 18 = 126
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 13 × 99 = 13 × (100 − 1) = 13 × 100 − 13 × 1 = 1 300 − 13 = 1 287
F = 14 × 12 + 14 × 88 = 14 × (12 + 88) = 14 × 100 = 1 400
G = 76 + 5,05 + 24 = 76 + 24 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 = 3² 5 × 5 × 5 = 5³ 1,5 × 1,5 = 1,5²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 6² = 6 × 6 = 36 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 3² = 1 + 9 = 10, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
94 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 94 < 100 = 10²) 120 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 120 < 121 = 11²)
121 = 11² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 9 = 5 × 25 − 9 = 125 − 9 = 116
B = (5 × 5)² − 9 = 25² − 9 = 625 − 9 = 616
C = 6² + 1² = 36 + 1 = 37
D = (6 + 1)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 2 : x² + 6 = 2² + 6 = 4 + 6 = 10 et 5x = 5 × 2 = 10.
10 = 10 : l'égalité est vraie pour x = 2.
Pour x = 8 : x² + 6 = 8² + 6 = 64 + 6 = 70 et 5x = 5 × 8 = 40.
70 ≠ 40 : l'égalité est fausse pour x = 8.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 3, et seulement pour 2 et 3.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 3 petits cubes sur 3 : 3² = 3 × 3 = 9.
a) On voit 9 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 3 couches de 9 petits cubes : 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
b) Il a utilisé 27 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 3 − 2 = 1 petits cubes d'arête. 1³ = 1 × 1 × 1 = 1.
c) 1 petit cube n'a aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 6 et 43. » → encore 36 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 9, 16, 25, 36.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16, 36.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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