Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 23 − 5 × 3 = 23 − 15 = 8
B = (23 − 5) × 3 = 18 × 3 = 54
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 31 − 7 × 2 est une différence : c'est la différence entre 31 et le produit de 7 par 2.
D = 6 × (13 − 7) est un produit : c'est le produit de 6 par la différence entre 13 et 7.
E = (18 + 6) ÷ 3 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 18 et 6 par 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 110 = 990 ≤ 996 < 999 = 9 × 111 : le quotient est 110, le reste 996 − 990 = 6.
996 = 9 × 110 + 6, avec 6 < 9.
25 × 56 = 1 400 ≤ 1 423 < 1 425 = 25 × 57 : le quotient est 56, le reste 1 423 − 1 400 = 23.
1 423 = 25 × 56 + 23, avec 23 < 25.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 163 = 8 × 20 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 8. ✔
(b) 163 = 8 × 21 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 163 = 8 × 19 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 20, reste 3.
Comme 3 < 20 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 163 par 20 : quotient 8, reste 3.
3. 155 = 6 × 25 + 5, avec 5 < 6
a) Elle remplit 25 boîtes pleines.
b) Il reste 5 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 815 | non | non | oui | non | non |
| 9 464 | oui | non | non | non | non |
| 2 810 | oui | non | oui | non | oui |
| 537 | non | oui | non | non | non |
| 6 093 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
815 → 8 + 1 + 5 = 14 9 464 → 9 + 4 + 6 + 4 = 23 2 810 → 2 + 8 + 1 + 0 = 11
537 → 5 + 3 + 7 = 15 6 093 → 6 + 0 + 9 + 3 = 18
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 3 = 4 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 6 ; □ = 5 : 9 ; □ = 8 : 12
3 solutions : 123, 153, 183.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 441, somme des chiffres 9.
« 9 est un diviseur de 100. » Faux. 100 = 9 × 11 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 32 − 9 + 9 = 23 + 9 = 32
B = 6 × 9 − 3 × 4 = 54 − 12 = 42
C = (10 + 5) × 6 − 17 = 15 × 6 − 17 = 90 − 17 = 73
D = [9 + 6 × (7 − 2)] ÷ 5 = [9 + 6 × 5] ÷ 5 = [9 + 30] ÷ 5 = 39 ÷ 5 = 7,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 + (4 + 8) × 3 = 3 + 12 × 3 = 3 + 36 = 39
5 + 8 − (6 − 6) = 5 + 8 − 0 = 13 − 0 = 13
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 45 × 101 = 45 × (100 + 1) = 45 × 100 + 45 × 1 = 4 500 + 45 = 4 545
F = 20 × 16 + 20 × 84 = 20 × (16 + 84) = 20 × 100 = 2 000
G = 8 × 30 × 125 = 8 × 125 × 30 = 1 000 × 30 = 30 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 4 × 4 × 4 = 4³ 12 × 12 = 12²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 7² = 7 × 7 = 49 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
« 3 × 6² = 18² » Faux. 3 × 6² = 3 × 36 = 108, alors que 18² = 324. Le carré ne porte que sur 6.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 49 = 7² : carré
50 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 50 < 64 = 8²) 51 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 51 < 64 = 8²)
107 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 107 < 121 = 11²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 2² − 3 = 3 × 4 − 3 = 12 − 3 = 9
B = (3 × 2)² − 3 = 6² − 3 = 36 − 3 = 33
C = 7² + 2² = 49 + 4 = 53
D = (7 + 2)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 5x² − 6 = 5 × 5² − 6 = 5 × 25 − 6 = 125 − 6 = 119
B = (5x)² − 6 = (5 × 5)² − 6 = 25² − 6 = 625 − 6 = 619
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 5x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 121 : 11 × 11 = 121, c'est-à-dire 11² = 121.
a) Le côté mesure 11 m.
4 × 11 = 44
b) Le périmètre est de 44 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 9 et 73. » → encore 63 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36, 49, 64.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 16, 36, 64.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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