Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 35 − 6 × 4 = 35 − 24 = 11
B = (35 − 6) × 4 = 29 × 4 = 116
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 1.
D = 11² − 48 est une différence : c'est la différence entre le carré de 11 et 48.
E = (2 + 5) × 3 est un produit : c'est le produit de la somme de 2 et 5 par 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 114 = 798 ≤ 803 < 805 = 7 × 115 : le quotient est 114, le reste 803 − 798 = 5.
803 = 7 × 114 + 5, avec 5 < 7.
21 × 93 = 1 953 ≤ 1 957 < 1 974 = 21 × 94 : le quotient est 93, le reste 1 957 − 1 953 = 4.
1 957 = 21 × 93 + 4, avec 4 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 64 = 7 × 8 + 8 : le « reste » 8 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(b) 64 = 7 × 9 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 7. ✔
(c) 64 = 7 × 10 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 9, reste 1.
Comme 1 < 9 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 64 par 9 : quotient 7, reste 1.
3. 102 = 15 × 6 + 12
6 minibus pleins transportent 90 élèves ; il en reste 12 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 6 + 1 = 7 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 15 − 12 = 3 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 8 102 | oui | non | non | non | non |
| 8 811 | non | oui | non | oui | non |
| 471 | non | oui | non | non | non |
| 205 | non | non | oui | non | non |
| 7 240 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
8 102 → 8 + 1 + 0 + 2 = 11 8 811 → 8 + 8 + 1 + 1 = 18 471 → 4 + 7 + 1 = 12
205 → 2 + 0 + 5 = 7 7 240 → 7 + 2 + 4 + 0 = 13
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 6 + 3 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9
Une seule solution : 630.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 73 se termine par 3, mais 73 = 3 × 24 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 208 est un multiple de 8. » Vrai. 208 = 8 × 26 : le reste de la division de 208 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 55 − 7 + 4 = 48 + 4 = 52
B = 10 ÷ 5 × 4 = 2 × 4 = 8
C = 61 − 3 × (10 − 2) = 61 − 3 × 8 = 61 − 24 = 37
D = 2 × [31 − (4 + 2)] = 2 × [31 − 6] = 2 × 25 = 50
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(9 + 5) × 6 + 6 = 14 × 6 + 6 = 84 + 6 = 90
8 × 5 − (8 + 3) = 8 × 5 − 11 = 40 − 11 = 29
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 32 × 11 = 32 × (10 + 1) = 32 × 10 + 32 × 1 = 320 + 32 = 352
F = 73 + 12,6 + 27 = 73 + 27 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
G = 2,7 × 1,3 + 2,7 × 8,7 = 2,7 × (1,3 + 8,7) = 2,7 × 10 = 27
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 7 × 7 = 7² 1,1 × 1,1 = 1,1² 6 × 6 × 6 = 6³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 3² + 5² = 9 + 25 = 34, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 25 = 5² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 100 = 10² : carré
123 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 123 < 144 = 12²) 134 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 134 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 4 = 4 × 4 − 4 = 16 − 4 = 12
B = (4 × 2)² − 4 = 8² − 4 = 64 − 4 = 60
C = 1² + 3² = 1 + 9 = 10
D = (1 + 3)² = 4² = 16
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 3x² − 5 = 3 × 5² − 5 = 3 × 25 − 5 = 75 − 5 = 70
B = (3x)² − 5 = (3 × 5)² − 5 = 15² − 5 = 225 − 5 = 220
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 3x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 30³ = 30 × 30 × 30 = 27 000
a) Le volume est de 27 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
27 000 ÷ 1 000 = 27
b) L'aquarium contient 27 litres.
Autre façon de voir : 30 cm, c'est 3 fois 10 cm ; on range 3 × 3 × 3 = 27 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 30 et 72. » → encore 41 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 49, 64.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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