Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
B = (3 + 4)² = 7² = 49
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 13 + 6 × 8 est une somme : c'est la somme de 13 et du produit de 6 par 8.
D = 7² − 46 est une différence : c'est la différence entre le carré de 7 et 46.
E = 2 × 9² est un produit : c'est le double du carré de 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 109 = 872 ≤ 878 < 880 = 8 × 110 : le quotient est 109, le reste 878 − 872 = 6.
878 = 8 × 109 + 6, avec 6 < 8.
18 × 119 = 2 142 ≤ 2 149 < 2 160 = 18 × 120 : le quotient est 119, le reste 2 149 − 2 142 = 7.
2 149 = 18 × 119 + 7, avec 7 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 151 = 12 × 11 + 19 : le « reste » 19 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(b) 151 = 12 × 12 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 12. ✔
(c) 151 = 12 × 13 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 12, reste 7.
Comme 7 < 12 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 151 par 12 : quotient 12, reste 7.
3. 265 = 7 × 37 + 6
a) 265 jours font 37 semaines complètes et 6 jours.
Après 37 semaines complètes, on est de nouveau lundi. Il reste à avancer de 6 jours : lundi → mardi → mercredi → jeudi → vendredi → samedi → dimanche.
b) Dans 265 jours, nous serons dimanche.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 4 527 | non | oui | non | oui | non |
| 475 | non | non | oui | non | non |
| 8 470 | oui | non | oui | non | oui |
| 4 514 | oui | non | non | non | non |
| 771 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
4 527 → 4 + 5 + 2 + 7 = 18 475 → 4 + 7 + 5 = 16 8 470 → 8 + 4 + 7 + 0 = 19
4 514 → 4 + 5 + 1 + 4 = 14 771 → 7 + 7 + 1 = 15
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 1 + 7 + □ = 8 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 12
Une seule solution : 174.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 990, somme des chiffres 18.
« 66 est un multiple de 5. » Faux. 66 = 5 × 13 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 34 − 13 + 5 = 21 + 5 = 26
B = 18 + 27 ÷ 9 × 3 = 18 + 3 × 3 = 18 + 9 = 27
C = 63 − 2 × (14 − 6) = 63 − 2 × 8 = 63 − 16 = 47
D = 5 × [24 − (5 + 3)] = 5 × [24 − 8] = 5 × 16 = 80
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (6 + 3) × 2 = 5 × 9 × 2 = 45 × 2 = 90
2 × (5 + 9 − 6) = 2 × (14 − 6) = 2 × 8 = 16
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 13 × 36 + 13 × 64 = 13 × (36 + 64) = 13 × 100 = 1 300
F = 4 × 90 × 25 = 4 × 25 × 90 = 100 × 90 = 9 000
G = 42 × 9 = 42 × (10 − 1) = 42 × 10 − 42 × 1 = 420 − 42 = 378
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 3 × 3 = 3² 3 × 3 × 3 = 3³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 7² = 7 × 7 = 49 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« (1 + 4)² = 1² + 4² » Faux. (1 + 4)² = 5² = 25, alors que 1² + 4² = 1 + 16 = 17.
« 2 × 6² = 12² » Faux. 2 × 6² = 2 × 36 = 72, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 6.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
75 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 75 < 81 = 9²) 100 = 10² : carré
134 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 134 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 5 = 4 × 36 − 5 = 144 − 5 = 139
B = (4 × 6)² − 5 = 24² − 5 = 576 − 5 = 571
C = 7² + 6² = 49 + 36 = 85
D = (7 + 6)² = 13² = 169
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 5x² − 3 = 5 × 3² − 3 = 5 × 9 − 3 = 45 − 3 = 42
B = (5x)² − 3 = (5 × 3)² − 3 = 15² − 3 = 225 − 3 = 222
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 5x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 4 petits cubes sur 4 : 4² = 4 × 4 = 16.
a) On voit 16 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 4 couches de 16 petits cubes : 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
b) Il a utilisé 64 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 4 − 2 = 2 petits cubes d'arête. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
c) 8 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 40. » → encore 38 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 4, 16, 25.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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