Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (27 − 5) × 4 = 22 × 4 = 88
B = 27 − 5 × 4 = 27 − 20 = 7
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 7² − 15 est une différence : c'est la différence entre le carré de 7 et 15.
D = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
E = (2 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 56 = 168 ≤ 170 < 171 = 3 × 57 : le quotient est 56, le reste 170 − 168 = 2.
170 = 3 × 56 + 2, avec 2 < 3.
18 × 86 = 1 548 ≤ 1 557 < 1 566 = 18 × 87 : le quotient est 86, le reste 1 557 − 1 548 = 9.
1 557 = 18 × 86 + 9, avec 9 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 166 = 12 × 12 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(b) 166 = 12 × 14 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 166 = 12 × 13 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 12. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 13, reste 10.
Comme 10 < 13 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 166 par 13 : quotient 12, reste 10.
3. 209 = 12 × 17 + 5, avec 5 < 12
a) Elle remplit 17 boîtes pleines.
b) Il reste 5 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 770 | oui | non | oui | non | oui |
| 2 684 | oui | non | non | non | non |
| 201 | non | oui | non | non | non |
| 5 229 | non | oui | non | oui | non |
| 815 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
3 770 → 3 + 7 + 7 + 0 = 17 2 684 → 2 + 6 + 8 + 4 = 20 201 → 2 + 0 + 1 = 3
5 229 → 5 + 2 + 2 + 9 = 18 815 → 8 + 1 + 5 = 14
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 2 + 0 + □ = 2 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 6
Une seule solution : 204.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 10 est pair mais 10 = 3 × 3 + 1.
« 8 est un diviseur de 171. » Faux. 171 = 8 × 21 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 41 − 15 + 10 = 26 + 10 = 36
B = 18 ÷ 6 × 2 = 3 × 2 = 6
C = (4 × 9 − 7) ÷ 4 = (36 − 7) ÷ 4 = 29 ÷ 4 = 7,25
D = 3 × [30 − (8 + 5)] = 3 × [30 − 13] = 3 × 17 = 51
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 + 2 × (3 + 5) = 6 + 2 × 8 = 6 + 16 = 22
3 × 3 − (5 + 3) = 3 × 3 − 8 = 9 − 8 = 1
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 38 × 11 = 38 × (10 + 1) = 38 × 10 + 38 × 1 = 380 + 38 = 418
F = 22 × 17 + 22 × 83 = 22 × (17 + 83) = 22 × 100 = 2 200
G = 67 + 3,45 + 33 = 67 + 33 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 = 5² 6 × 6 × 6 = 6³ 2,5 × 2,5 = 2,5²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 12² = 12 × 12 = 144 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 4² = 1 + 16 = 17, qui n'est le carré d'aucun entier (4² = 16 et 5² = 25). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 4² = 8 » Faux. 4² = 4 × 4 = 16. L'exposant ne multiplie pas : 4 × 2 = 8, c'est le double.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 27 = 3³ : cube
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 85 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 85 < 100 = 10²)
121 = 11² : carré 133 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 133 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 2² − 7 = 2 × 4 − 7 = 8 − 7 = 1
B = (2 × 2)² − 7 = 4² − 7 = 16 − 7 = 9
C = 3² + 5² = 9 + 25 = 34
D = (3 + 5)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 5x² − 9 = 5 × 2² − 9 = 5 × 4 − 9 = 20 − 9 = 11
B = (5x)² − 9 = (5 × 2)² − 9 = 10² − 9 = 100 − 9 = 91
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 5x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 144 : 12 × 12 = 144, c'est-à-dire 12² = 144.
a) Le côté mesure 12 m.
4 × 12 = 48
b) Le périmètre est de 48 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 58 et 104. » → encore 45 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81, 100.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 64, 100.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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