Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 12 + 6 × 2 = 12 + 12 = 24
B = (12 + 6) × 2 = 18 × 2 = 36
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4 × 8² − 11 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 8 et 11.
D = (2 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 3.
E = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 121 = 968 ≤ 972 < 976 = 8 × 122 : le quotient est 121, le reste 972 − 968 = 4.
972 = 8 × 121 + 4, avec 4 < 8.
12 × 202 = 2 424 ≤ 2 431 < 2 436 = 12 × 203 : le quotient est 202, le reste 2 431 − 2 424 = 7.
2 431 = 12 × 202 + 7, avec 7 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 219 = 11 × 20 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 219 = 11 × 18 + 21 : le « reste » 21 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 219 = 11 × 19 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 11. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 19, reste 10.
Comme 10 < 19 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 219 par 19 : quotient 11, reste 10.
3. 386 = 30 × 12 + 26
En 12 soirs, elle lit 360 pages ; il lui en reste encore 26.
a) Il lui faut 12 + 1 = 13 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 26 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 040 | oui | non | oui | non | oui |
| 741 | non | oui | non | non | non |
| 1 252 | oui | non | non | non | non |
| 355 | non | non | oui | non | non |
| 4 167 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
9 040 → 9 + 0 + 4 + 0 = 13 741 → 7 + 4 + 1 = 12 1 252 → 1 + 2 + 5 + 2 = 10
355 → 3 + 5 + 5 = 13 4 167 → 4 + 1 + 6 + 7 = 18
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 4 + 5 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9
Une seule solution : 450.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 495, somme des chiffres 18.
« 153 est un multiple de 6. » Faux. 153 = 6 × 25 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 30 − 6 + 15 = 24 + 15 = 39
B = 5 × 4 − 6 × 3 = 20 − 18 = 2
C = (9 + 5) × 5 − 7 = 14 × 5 − 7 = 70 − 7 = 63
D = 8,8 + 6 × 1,2 = 8,8 + 7,2 = 16
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (7 + 9 − 6) = 5 × (16 − 6) = 5 × 10 = 50
(3 + 6) × 4 − 5 = 9 × 4 − 5 = 36 − 5 = 31
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 29 × 11 = 29 × (10 + 1) = 29 × 10 + 29 × 1 = 290 + 29 = 319
F = 4,5 × 0,7 + 4,5 × 0,3 = 4,5 × (0,7 + 0,3) = 4,5 × 1 = 4,5
G = 8 × 90 × 125 = 8 × 125 × 90 = 1 000 × 90 = 90 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 10 × 10 = 10² 6 × 6 × 6 = 6³ 2,5 × 2,5 = 2,5²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 8² = 8 × 8 = 64 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « (5 + 1)² = 5² + 1² » Faux. (5 + 1)² = 6² = 36, alors que 5² + 1² = 25 + 1 = 26.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 27 = 3³ : cube
46 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 46 < 49 = 7²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
121 = 11² : carré 134 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 134 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 4 = 2 × 9 − 4 = 18 − 4 = 14
B = (2 × 3)² − 4 = 6² − 4 = 36 − 4 = 32
C = 1² + 7² = 1 + 49 = 50
D = (1 + 7)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 5 : 2a³ = 2 × 5³ = 2 × 125 = 250
Pour a = 10 : 2a³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 5² = π × 25 = 25π
a) L'aire exacte est 25π m².
25 × 3,14 = 78,5
b) L'aire vaut environ 79 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 5², et non (π × 5)². On élève 5 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 48. » → encore 46 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16, 36.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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