Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (5 + 1)² = 6² = 36
B = 5² + 1² = 25 + 1 = 26
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (10 + 7) × 7 est un produit : c'est le produit de la somme de 10 et 7 par 7.
D = (1 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 3.
E = 8² + 7² est une somme : c'est la somme des carrés de 8 et de 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 237 = 711 ≤ 713 < 714 = 3 × 238 : le quotient est 237, le reste 713 − 711 = 2.
713 = 3 × 237 + 2, avec 2 < 3.
27 × 56 = 1 512 ≤ 1 534 < 1 539 = 27 × 57 : le quotient est 56, le reste 1 534 − 1 512 = 22.
1 534 = 27 × 56 + 22, avec 22 < 27.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 395 = 11 × 36 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 395 = 11 × 35 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 11. ✔
(c) 395 = 11 × 34 + 21 : le « reste » 21 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 35, reste 10.
Comme 10 < 35 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 395 par 35 : quotient 11, reste 10.
3. 264 = 30 × 8 + 24
En 8 soirs, elle lit 240 pages ; il lui en reste encore 24.
a) Il lui faut 8 + 1 = 9 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 24 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 141 | non | oui | non | non | non |
| 565 | non | non | oui | non | non |
| 7 888 | oui | non | non | non | non |
| 1 611 | non | oui | non | oui | non |
| 4 290 | oui | oui | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
141 → 1 + 4 + 1 = 6 565 → 5 + 6 + 5 = 16 7 888 → 7 + 8 + 8 + 8 = 31
1 611 → 1 + 6 + 1 + 1 = 9 4 290 → 4 + 2 + 9 + 0 = 15
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 8 + 7 + □ = 15 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 15
Une seule solution : 870.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 49 est un multiple de 3. » Faux. 49 = 3 × 16 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 35 − 10 + 11 = 25 + 11 = 36
B = 9 + 27 ÷ 3 × 4 = 9 + 9 × 4 = 9 + 36 = 45
C = 52 − 3 × (11 − 8) = 52 − 3 × 3 = 52 − 9 = 43
D = [8 + 4 × (8 − 3)] ÷ 2 = [8 + 4 × 5] ÷ 2 = [8 + 20] ÷ 2 = 28 ÷ 2 = 14
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 + 6 × (9 − 9) = 5 + 6 × 0 = 5 + 0 = 5
(9 + 9 + 2) × 8 = (18 + 2) × 8 = 20 × 8 = 160
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 51 + 12,6 + 49 = 51 + 49 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
F = 27 × 59 + 27 × 41 = 27 × (59 + 41) = 27 × 100 = 2 700
G = 23 × 99 = 23 × (100 − 1) = 23 × 100 − 23 × 1 = 2 300 − 23 = 2 277
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 10 × 10 = 10² 1,1 × 1,1 = 1,1²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 8² = 8 × 8 = 64 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 3 × 5² = 15² » Faux. 3 × 5² = 3 × 25 = 75, alors que 15² = 225. Le carré ne porte que sur 5.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
25 = 5² : carré 46 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 46 < 49 = 7²)
52 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 52 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 4 = 3 × 16 − 4 = 48 − 4 = 44
B = (3 × 4)² − 4 = 12² − 4 = 144 − 4 = 140
C = 7² + 2² = 49 + 4 = 53
D = (7 + 2)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 4 : x² + 20 = 4² + 20 = 16 + 20 = 36 et 9x = 9 × 4 = 36.
36 = 36 : l'égalité est vraie pour x = 4.
Pour x = 1 : x² + 20 = 1² + 20 = 1 + 20 = 21 et 9x = 9 × 1 = 9.
21 ≠ 9 : l'égalité est fausse pour x = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 5, et seulement pour 4 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 25 = 4 : il y a 4 carreaux par mètre.
4 × 4 = 16
a) Il faut 16 carreaux le long d'un côté.
16 rangées de 16 carreaux : 16² = 16 × 16 = 256
b) Il faut 256 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 10 et 69. » → encore 58 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36, 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 16, 36, 49, 64.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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