Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 4)² = 8² = 64
B = 2 × 4² = 2 × 16 = 32
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (1 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 3.
D = 5² + 3² est une somme : c'est la somme des carrés de 5 et de 3.
E = (4 + 6)² est un carré : c'est le carré de la somme de 4 et 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 49 = 343 ≤ 349 < 350 = 7 × 50 : le quotient est 49, le reste 349 − 343 = 6.
349 = 7 × 49 + 6, avec 6 < 7.
16 × 65 = 1 040 ≤ 1 050 < 1 056 = 16 × 66 : le quotient est 65, le reste 1 050 − 1 040 = 10.
1 050 = 16 × 65 + 10, avec 10 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 175 = 8 × 22 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 175 = 8 × 20 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(c) 175 = 8 × 21 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 8. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 21, reste 7.
Comme 7 < 21 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 175 par 21 : quotient 8, reste 7.
3. 61 = 9 × 6 + 7
6 minibus pleins transportent 54 élèves ; il en reste 7 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 6 + 1 = 7 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 9 − 7 = 2 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 049 | non | oui | non | oui | non |
| 3 800 | oui | non | oui | non | oui |
| 955 | non | non | oui | non | non |
| 717 | non | oui | non | non | non |
| 9 326 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
5 049 → 5 + 0 + 4 + 9 = 18 3 800 → 3 + 8 + 0 + 0 = 11 955 → 9 + 5 + 5 = 19
717 → 7 + 1 + 7 = 15 9 326 → 9 + 3 + 2 + 6 = 20
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 3 + 4 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 12
Une seule solution : 345.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 74 est pair mais 74 = 3 × 24 + 2.
« 5 est un diviseur de 126. » Faux. 126 = 5 × 25 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 43 − 3 × 3 = 43 − 9 = 34
B = 19 + 45 ÷ 5 × 2 = 19 + 9 × 2 = 19 + 18 = 37
C = (3 + 11) × 5 − 17 = 14 × 5 − 17 = 70 − 17 = 53
D = 3 × [20 − (8 + 3)] = 3 × [20 − 11] = 3 × 9 = 27
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 × (7 + 2) + 8 = 2 × 9 + 8 = 18 + 8 = 26
2 × (4 × 9 − 5) = 2 × (36 − 5) = 2 × 31 = 62
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12,5 × 1,3 + 12,5 × 8,7 = 12,5 × (1,3 + 8,7) = 12,5 × 10 = 125
F = 21 + 12,6 + 79 = 21 + 79 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
G = 40 × 99 = 40 × (100 − 1) = 40 × 100 − 40 × 1 = 4 000 − 40 = 3 960
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 9 × 9 = 9² 5 × 5 × 5 = 5³
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 8² = 8 × 8 = 64 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« (2 + 4)² = 2² + 4² » Faux. (2 + 4)² = 6² = 36, alors que 2² + 4² = 4 + 16 = 20.
« 4 × 6² = 24² » Faux. 4 × 6² = 4 × 36 = 144, alors que 24² = 576. Le carré ne porte que sur 6.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 49 = 7² : carré
68 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 68 < 81 = 9²) 81 = 9² : carré
85 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 85 < 100 = 10²) 134 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 134 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 2² − 8 = 3 × 4 − 8 = 12 − 8 = 4
B = (3 × 2)² − 8 = 6² − 8 = 36 − 8 = 28
C = 3² + 6² = 9 + 36 = 45
D = (3 + 6)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 6 : (a + 5)² = (6 + 5)² = 11² = 121
Pour a = 0,5 : (a + 5)² = (0,5 + 5)² = 5,5² = 30,25
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 121 : 11 × 11 = 121, c'est-à-dire 11² = 121.
a) Le côté mesure 11 m.
4 × 11 = 44
b) Le périmètre est de 44 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 158 et 222. » → encore 63 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.