Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 36 + 12 ÷ 6 = 36 + 2 = 38
B = (36 + 12) ÷ 6 = 48 ÷ 6 = 8
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4 × 7² − 16 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 7 et 16.
D = 14 + 6 ÷ 2 est une somme : c'est la somme de 14 et du quotient de 6 par 2.
E = (9 + 4) × 7 est un produit : c'est le produit de la somme de 9 et 4 par 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 150 = 600 ≤ 603 < 604 = 4 × 151 : le quotient est 150, le reste 603 − 600 = 3.
603 = 4 × 150 + 3, avec 3 < 4.
28 × 22 = 616 ≤ 624 < 644 = 28 × 23 : le quotient est 22, le reste 624 − 616 = 8.
624 = 28 × 22 + 8, avec 8 < 28.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 528 = 14 × 38 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 528 = 14 × 36 + 24 : le « reste » 24 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(c) 528 = 14 × 37 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 14. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 37, reste 10.
Comme 10 < 37 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 528 par 37 : quotient 14, reste 10.
3. 54 = 7 × 7 + 5, avec 5 < 7
a) Chaque joueur reçoit 7 cartes.
b) La pioche contient 5 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 7 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 155 | non | non | oui | non | non |
| 141 | non | oui | non | non | non |
| 7 623 | non | oui | non | oui | non |
| 3 638 | oui | non | non | non | non |
| 8 890 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
155 → 1 + 5 + 5 = 11 141 → 1 + 4 + 1 = 6 7 623 → 7 + 6 + 2 + 3 = 18
3 638 → 3 + 6 + 3 + 8 = 20 8 890 → 8 + 8 + 9 + 0 = 25
2. Somme des chiffres : 3 + □ + 4 = 7 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 9 ; □ = 5 : 12 ; □ = 8 : 15
3 solutions : 324, 354, 384.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 88 est pair mais 88 = 3 × 29 + 1.
« 112 est un multiple de 7. » Vrai. 112 = 7 × 16 : le reste de la division de 112 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 46 − 13 + 10 = 33 + 10 = 43
B = 8 × 6 − 4 × 5 = 48 − 20 = 28
C = (3 × 9 − 2) ÷ 2 = (27 − 2) ÷ 2 = 25 ÷ 2 = 12,5
D = [6 + 7 × (10 − 3)] ÷ 2 = [6 + 7 × 7] ÷ 2 = [6 + 49] ÷ 2 = 55 ÷ 2 = 27,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(3 − 2 + 2) × 4 = (1 + 2) × 4 = 3 × 4 = 12
6 × (6 − 4) − 7 = 6 × 2 − 7 = 12 − 7 = 5
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 5 × 69 × 20 = 5 × 20 × 69 = 100 × 69 = 6 900
F = 34 × 9 = 34 × (10 − 1) = 34 × 10 − 34 × 1 = 340 − 34 = 306
G = 31 × 86 − 31 × 76 = 31 × (86 − 76) = 31 × 10 = 310
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 × 6 = 6³ 1,5 × 1,5 = 1,5² 11 × 11 = 11²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 9² = 9 × 9 = 81 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 3² = 6 » Faux. 3² = 3 × 3 = 9. L'exposant ne multiplie pas : 3 × 2 = 6, c'est le double.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 108 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 108 < 121 = 11²)
118 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 118 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 4 = 2 × 9 − 4 = 18 − 4 = 14
B = (2 × 3)² − 4 = 6² − 4 = 36 − 4 = 32
C = 3² + 5² = 9 + 25 = 34
D = (3 + 5)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 4a² − 5 = 4 × 5² − 5 = 4 × 25 − 5 = 100 − 5 = 95
B = (4a)² − 5 = (4 × 5)² − 5 = 20² − 5 = 400 − 5 = 395
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 4a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 50³ = 50 × 50 × 50 = 125 000
a) Le volume est de 125 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
125 000 ÷ 1 000 = 125
b) L'aquarium contient 125 litres.
Autre façon de voir : 50 cm, c'est 5 fois 10 cm ; on range 5 × 5 × 5 = 125 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 72 et 111. » → encore 38 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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