Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2² + 7² = 4 + 49 = 53
B = (2 + 7)² = 9² = 81
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (7 + 5) ÷ 3 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 7 et 5 par 3.
D = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
E = 7² + 9² est une somme : c'est la somme des carrés de 7 et de 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 87 = 261 ≤ 263 < 264 = 3 × 88 : le quotient est 87, le reste 263 − 261 = 2.
263 = 3 × 87 + 2, avec 2 < 3.
24 × 43 = 1 032 ≤ 1 046 < 1 056 = 24 × 44 : le quotient est 43, le reste 1 046 − 1 032 = 14.
1 046 = 24 × 43 + 14, avec 14 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 263 = 15 × 17 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 15. ✔
(b) 263 = 15 × 16 + 23 : le « reste » 23 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(c) 263 = 15 × 18 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 17, reste 8.
Comme 8 < 17 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 263 par 17 : quotient 15, reste 8.
3. 119 = 15 × 7 + 14
En 7 soirs, elle lit 105 pages ; il lui en reste encore 14.
a) Il lui faut 7 + 1 = 8 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 14 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 363 | non | oui | non | oui | non |
| 815 | non | non | oui | non | non |
| 141 | non | oui | non | non | non |
| 9 260 | oui | non | oui | non | oui |
| 2 044 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
6 363 → 6 + 3 + 6 + 3 = 18 815 → 8 + 1 + 5 = 14 141 → 1 + 4 + 1 = 6
9 260 → 9 + 2 + 6 + 0 = 17 2 044 → 2 + 0 + 4 + 4 = 10
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 7 = 12 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12 ; □ = 3 : 15 ; □ = 6 : 18 ; □ = 9 : 21
4 solutions : 507, 537, 567, 597.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 52 est pair mais 52 = 3 × 17 + 1.
« 108 est un multiple de 4. » Vrai. 108 = 4 × 27 : le reste de la division de 108 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 46 − 4 × 2 = 46 − 8 = 38
B = 13 + 9 ÷ 3 × 4 = 13 + 3 × 4 = 13 + 12 = 25
C = 87 − 5 × (19 − 6) = 87 − 5 × 13 = 87 − 65 = 22
D = 4 × [39 − (7 + 9)] = 4 × [39 − 16] = 4 × 23 = 92
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(2 + 5 + 9) × 6 = (7 + 9) × 6 = 16 × 6 = 96
9 + 3 − (9 − 2) = 9 + 3 − 7 = 12 − 7 = 5
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 38 × 18 + 38 × 82 = 38 × (18 + 82) = 38 × 100 = 3 800
F = 28 × 99 = 28 × (100 − 1) = 28 × 100 − 28 × 1 = 2 800 − 28 = 2 772
G = 16 + 7,8 + 84 = 16 + 84 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 9 × 9 = 9² 4 × 4 × 4 = 4³ 1,5 × 1,5 = 1,5²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 8² = 8 × 8 = 64 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« (4 + 1)² = 4² + 1² » Faux. (4 + 1)² = 5² = 25, alors que 4² + 1² = 16 + 1 = 17.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
15 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 15 < 16 = 4²) 19 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 19 < 25 = 5²)
78 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 78 < 81 = 9²) 81 = 9² : carré
121 = 11² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 3 = 4 × 36 − 3 = 144 − 3 = 141
B = (4 × 6)² − 3 = 24² − 3 = 576 − 3 = 573
C = 2² + 6² = 4 + 36 = 40
D = (2 + 6)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 3x² − 2 = 3 × 5² − 2 = 3 × 25 − 2 = 75 − 2 = 73
B = (3x)² − 2 = (3 × 5)² − 2 = 15² − 2 = 225 − 2 = 223
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 3x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 2² = π × 4 = 4π
a) L'aire exacte est 4π m².
4 × 3,14 = 12,56
b) L'aire vaut environ 13 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 2², et non (π × 2)². On élève 2 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 41 et 73. » → encore 31 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64.
« Mon chiffre des unités est 4. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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