Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (3 + 1)² = 4² = 16
B = 3² + 1² = 9 + 1 = 10
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 × (14 − 11) est un produit : c'est le produit de 5 par la différence entre 14 et 11.
D = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
E = 54 − 6 × 7 est une différence : c'est la différence entre 54 et le produit de 6 par 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 176 = 880 ≤ 882 < 885 = 5 × 177 : le quotient est 176, le reste 882 − 880 = 2.
882 = 5 × 176 + 2, avec 2 < 5.
29 × 74 = 2 146 ≤ 2 163 < 2 175 = 29 × 75 : le quotient est 74, le reste 2 163 − 2 146 = 17.
2 163 = 29 × 74 + 17, avec 17 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 164 = 12 × 14 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 164 = 12 × 12 + 20 : le « reste » 20 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(c) 164 = 12 × 13 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 12. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 13, reste 8.
Comme 8 < 13 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 164 par 13 : quotient 12, reste 8.
3. 56 = 15 × 3 + 11
3 minibus pleins transportent 45 élèves ; il en reste 11 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 3 + 1 = 4 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 15 − 11 = 4 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 235 | non | non | oui | non | non |
| 2 990 | oui | non | oui | non | oui |
| 3 262 | oui | non | non | non | non |
| 627 | non | oui | non | non | non |
| 5 499 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
235 → 2 + 3 + 5 = 10 2 990 → 2 + 9 + 9 + 0 = 20 3 262 → 3 + 2 + 6 + 2 = 13
627 → 6 + 2 + 7 = 15 5 499 → 5 + 4 + 9 + 9 = 27
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 7 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 1 : 9
Une seule solution : 117.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 96 est divisible par 3 (96 = 3 × 32) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 15, n'est pas dans la table de 9).
« 6 est un diviseur de 102. » Vrai. 102 = 6 × 17 : le reste de la division de 102 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 31 − 13 + 8 = 18 + 8 = 26
B = 10 ÷ 2 × 2 = 5 × 2 = 10
C = (5 × 8 − 8) ÷ 2 = (40 − 8) ÷ 2 = 32 ÷ 2 = 16
D = 5 × [21 − (6 + 2)] = 5 × [21 − 8] = 5 × 13 = 65
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(8 + 3) × 6 + 6 = 11 × 6 + 6 = 66 + 6 = 72
2 × (3 + 9 + 4) = 2 × (12 + 4) = 2 × 16 = 32
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 42 × 99 = 42 × (100 − 1) = 42 × 100 − 42 × 1 = 4 200 − 42 = 4 158
F = 8 × 67 × 125 = 8 × 125 × 67 = 1 000 × 67 = 67 000
G = 24 × 64 − 24 × 54 = 24 × (64 − 54) = 24 × 10 = 240
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 6 × 6 × 6 = 6³ 12 × 12 = 12²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 8² = 8 × 8 = 64 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 4 × 5² = 20² » Faux. 4 × 5² = 4 × 25 = 100, alors que 20² = 400. Le carré ne porte que sur 5.
« 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
42 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 42 < 49 = 7²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
144 = 12² : carré 149 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 149 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 3² − 7 = 5 × 9 − 7 = 45 − 7 = 38
B = (5 × 3)² − 7 = 15² − 7 = 225 − 7 = 218
C = 5² + 6² = 25 + 36 = 61
D = (5 + 6)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 5 : x² + 4 = 5² + 4 = 25 + 4 = 29 et 5x = 5 × 5 = 25.
29 ≠ 25 : l'égalité est fausse pour x = 5.
Pour x = 1 : x² + 4 = 1² + 4 = 1 + 4 = 5 et 5x = 5 × 1 = 5.
5 = 5 : l'égalité est vraie pour x = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 4, et seulement pour 1 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 8 petits cubes sur 8 : 8² = 8 × 8 = 64.
a) On voit 64 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 8 couches de 64 petits cubes : 8³ = 8 × 8 × 8 = 512.
b) Il a utilisé 512 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 8 − 2 = 6 petits cubes d'arête. 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
c) 216 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 6 et 64. » → encore 57 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Mon chiffre des unités est 7. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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