Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 4² = 2 × 16 = 32
B = (2 × 4)² = 8² = 64
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 7² + 5² est une somme : c'est la somme des carrés de 7 et de 5.
D = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
E = (3 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 113 = 339 ≤ 341 < 342 = 3 × 114 : le quotient est 113, le reste 341 − 339 = 2.
341 = 3 × 113 + 2, avec 2 < 3.
23 × 97 = 2 231 ≤ 2 237 < 2 254 = 23 × 98 : le quotient est 97, le reste 2 237 − 2 231 = 6.
2 237 = 23 × 97 + 6, avec 6 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 279 = 14 × 18 + 27 : le « reste » 27 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(b) 279 = 14 × 20 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 279 = 14 × 19 + 13 : le reste 13 est bien inférieur à 14. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 19, reste 13.
Comme 13 < 19 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 279 par 19 : quotient 14, reste 13.
3. 85 = 6 × 14 + 1, avec 1 < 6
a) Elle remplit 14 boîtes pleines.
b) Il reste 1 œuf.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 291 | non | oui | non | non | non |
| 4 516 | oui | non | non | non | non |
| 335 | non | non | oui | non | non |
| 8 230 | oui | non | oui | non | oui |
| 3 087 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
291 → 2 + 9 + 1 = 12 4 516 → 4 + 5 + 1 + 6 = 16 335 → 3 + 3 + 5 = 11
8 230 → 8 + 2 + 3 + 0 = 13 3 087 → 3 + 0 + 8 + 7 = 18
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 0 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 9 ; □ = 4 : 12 ; □ = 7 : 15
3 solutions : 810, 840, 870.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 396, somme des chiffres 18.
« 80 est un multiple de 4. » Vrai. 80 = 4 × 20 : le reste de la division de 80 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 18 + 6 × 6 = 18 + 36 = 54
B = 42 ÷ 6 × 2 = 7 × 2 = 14
C = 80 − 2 × (13 − 9) = 80 − 2 × 4 = 80 − 8 = 72
D = 5 × [39 − (3 + 2)] = 5 × [39 − 5] = 5 × 34 = 170
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 + (4 + 6) × 8 = 8 + 10 × 8 = 8 + 80 = 88
(7 + 3 × 3) × 9 = (7 + 9) × 9 = 16 × 9 = 144
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12 × 99 = 12 × (100 − 1) = 12 × 100 − 12 × 1 = 1 200 − 12 = 1 188
F = 4,5 × 0,25 + 4,5 × 0,75 = 4,5 × (0,25 + 0,75) = 4,5 × 1 = 4,5
G = 2 × 27 × 50 = 2 × 50 × 27 = 100 × 27 = 2 700
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 12 × 12 = 12² 2,5 × 2,5 = 2,5² 4 × 4 × 4 = 4³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 7² = 7 × 7 = 49 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« (4 + 3)² = 4² + 3² » Faux. (4 + 3)² = 7² = 49, alors que 4² + 3² = 16 + 9 = 25.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 25 = 5² : carré
27 = 3³ : cube 63 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 63 < 64 = 8²)
104 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 104 < 121 = 11²) 119 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 119 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 5² − 5 = 4 × 25 − 5 = 100 − 5 = 95
B = (4 × 5)² − 5 = 20² − 5 = 400 − 5 = 395
C = 3² + 7² = 9 + 49 = 58
D = (3 + 7)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 4 : a³ + 3 = 4³ + 3 = 64 + 3 = 67
Pour a = 10 : a³ + 3 = 10³ + 3 = 1 000 + 3 = 1 003
Exercice 7 — Correction
1. V = 20³ = 20 × 20 × 20 = 8 000
a) Le volume est de 8 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
8 000 ÷ 1 000 = 8
b) L'aquarium contient 8 litres.
Autre façon de voir : 20 cm, c'est 2 fois 10 cm ; on range 2 × 2 × 2 = 8 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 76 et 132. » → encore 55 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100, 121.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 100, 121.
« Je suis divisible par 5. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.