Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 15 + 27 ÷ 3 = 15 + 9 = 24
B = (15 + 27) ÷ 3 = 42 ÷ 3 = 14
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 8² − 19 est une différence : c'est la différence entre le carré de 8 et 19.
D = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
E = 8 + 5 × 5 est une somme : c'est la somme de 8 et du produit de 5 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 16 = 128 ≤ 130 < 136 = 8 × 17 : le quotient est 16, le reste 130 − 128 = 2.
130 = 8 × 16 + 2, avec 2 < 8.
14 × 22 = 308 ≤ 317 < 322 = 14 × 23 : le quotient est 22, le reste 317 − 308 = 9.
317 = 14 × 22 + 9, avec 9 < 14.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 423 = 13 × 32 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 13. ✔
(b) 423 = 13 × 31 + 20 : le « reste » 20 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(c) 423 = 13 × 33 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 32, reste 7.
Comme 7 < 32 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 423 par 32 : quotient 13, reste 7.
3. 370 = 25 × 14 + 20
En 14 soirs, elle lit 350 pages ; il lui en reste encore 20.
a) Il lui faut 14 + 1 = 15 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 20 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 897 | non | oui | non | non | non |
| 325 | non | non | oui | non | non |
| 2 439 | non | oui | non | oui | non |
| 6 494 | oui | non | non | non | non |
| 6 320 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
897 → 8 + 9 + 7 = 24 325 → 3 + 2 + 5 = 10 2 439 → 2 + 4 + 3 + 9 = 18
6 494 → 6 + 4 + 9 + 4 = 23 6 320 → 6 + 3 + 2 + 0 = 11
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 3 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9 ; □ = 3 : 12 ; □ = 6 : 15 ; □ = 9 : 18
4 solutions : 603, 633, 663, 693.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 22 est pair mais 22 = 3 × 7 + 1.
« 162 est un multiple de 9. » Vrai. 162 = 9 × 18 : le reste de la division de 162 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 21 + 4 × 9 = 21 + 36 = 57
B = 18 ÷ 9 × 2 = 2 × 2 = 4
C = (9 × 4 − 3) ÷ 5 = (36 − 3) ÷ 5 = 33 ÷ 5 = 6,6
D = 6,4 + 5 × 1,5 = 6,4 + 7,5 = 13,9
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 − (6 − 2) + 9 = 9 − 4 + 9 = 5 + 9 = 14
(9 + 4 + 6) × 4 = (13 + 6) × 4 = 19 × 4 = 76
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 36 × 50 = 2 × 50 × 36 = 100 × 36 = 3 600
F = 24 × 61 + 24 × 39 = 24 × (61 + 39) = 24 × 100 = 2 400
G = 45 × 101 = 45 × (100 + 1) = 45 × 100 + 45 × 1 = 4 500 + 45 = 4 545
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 1,5 × 1,5 = 1,5² 5 × 5 = 5²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 7² = 7 × 7 = 49 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
39 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 39 < 49 = 7²) 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 81 = 9² : carré
109 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 109 < 121 = 11²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 5 = 3 × 36 − 5 = 108 − 5 = 103
B = (3 × 6)² − 5 = 18² − 5 = 324 − 5 = 319
C = 2² + 3² = 4 + 9 = 13
D = (2 + 3)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 6 : a² − 6a + 18 = 6² − 6 × 6 + 18 = 36 − 6 × 6 + 18 = 36 − 36 + 18 = 0 + 18 = 18
Pour a = 10 : a² − 6a + 18 = 10² − 6 × 10 + 18 = 100 − 6 × 10 + 18 = 100 − 60 + 18 = 40 + 18 = 58
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 65 :
8² = 64 ≤ 65 et 9² = 81 > 65.
a) Elle mettra 8 dalles sur chaque côté.
65 − 64 = 1
b) Il lui restera 1 dalle.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 194 et 243. » → encore 48 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 196, 225.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 225.
Le nombre mystère est 225 (225 = 15²).
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