Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 5)² = 10² = 100
B = 2 × 5² = 2 × 25 = 50
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 6 + 16 ÷ 2 est une somme : c'est la somme de 6 et du quotient de 16 par 2.
D = 2 × 9² est un produit : c'est le double du carré de 9.
E = (7 + 2)² est un carré : c'est le carré de la somme de 7 et 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 330 = 990 ≤ 992 < 993 = 3 × 331 : le quotient est 330, le reste 992 − 990 = 2.
992 = 3 × 330 + 2, avec 2 < 3.
24 × 36 = 864 ≤ 871 < 888 = 24 × 37 : le quotient est 36, le reste 871 − 864 = 7.
871 = 24 × 36 + 7, avec 7 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 304 = 10 × 30 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 10. ✔
(b) 304 = 10 × 31 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 304 = 10 × 29 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 30, reste 4.
Comme 4 < 30 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 304 par 30 : quotient 10, reste 4.
3. 356 = 7 × 50 + 6
a) 356 jours font 50 semaines complètes et 6 jours.
Après 50 semaines complètes, on est de nouveau jeudi. Il reste à avancer de 6 jours : jeudi → vendredi → samedi → dimanche → lundi → mardi → mercredi.
b) Dans 356 jours, nous serons mercredi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 592 | oui | non | non | non | non |
| 845 | non | non | oui | non | non |
| 5 589 | non | oui | non | oui | non |
| 7 140 | oui | oui | oui | non | oui |
| 357 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
6 592 → 6 + 5 + 9 + 2 = 22 845 → 8 + 4 + 5 = 17 5 589 → 5 + 5 + 8 + 9 = 27
7 140 → 7 + 1 + 4 + 0 = 12 357 → 3 + 5 + 7 = 15
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 2 = 6 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6 ; □ = 3 : 9 ; □ = 6 : 12 ; □ = 9 : 15
4 solutions : 402, 432, 462, 492.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 945, somme des chiffres 18.
« 67 est un multiple de 5. » Faux. 67 = 5 × 13 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 15 + 6 × 6 = 15 + 36 = 51
B = 18 + 27 ÷ 3 × 3 = 18 + 9 × 3 = 18 + 27 = 45
C = (2 + 7) × 4 − 6 = 9 × 4 − 6 = 36 − 6 = 30
D = 9,9 + 6 × 0,2 = 9,9 + 1,2 = 11,1
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(6 + 8) × 5 − 7 = 14 × 5 − 7 = 70 − 7 = 63
8 + 4 − (4 + 2) = 8 + 4 − 6 = 12 − 6 = 6
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 29 + 12,6 + 71 = 29 + 71 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
F = 26 × 101 = 26 × (100 + 1) = 26 × 100 + 26 × 1 = 2 600 + 26 = 2 626
G = 15 × 59 + 15 × 41 = 15 × (59 + 41) = 15 × 100 = 1 500
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 7 × 7 = 7² 0,7 × 0,7 = 0,7²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 7² = 7 × 7 = 49 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 28 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 28 < 36 = 6²)
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
105 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 105 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 8 = 3 × 36 − 8 = 108 − 8 = 100
B = (3 × 6)² − 8 = 18² − 8 = 324 − 8 = 316
C = 2² + 5² = 4 + 25 = 29
D = (2 + 5)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 2a² − 5 = 2 × 2² − 5 = 2 × 4 − 5 = 8 − 5 = 3
B = (2a)² − 5 = (2 × 2)² − 5 = 4² − 5 = 16 − 5 = 11
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 2a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 40³ = 40 × 40 × 40 = 64 000
a) Le volume est de 64 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
64 000 ÷ 1 000 = 64
b) L'aquarium contient 64 litres.
Autre façon de voir : 40 cm, c'est 4 fois 10 cm ; on range 4 × 4 × 4 = 64 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 55 et 113. » → encore 57 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81, 100.
« Mon chiffre des unités est 1. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.