Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (5 + 8) × 4 = 13 × 4 = 52
B = 5 + 8 × 4 = 5 + 32 = 37
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 1.
D = 6² − 23 est une différence : c'est la différence entre le carré de 6 et 23.
E = 7 × (12 − 5) est un produit : c'est le produit de 7 par la différence entre 12 et 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 85 = 595 ≤ 600 < 602 = 7 × 86 : le quotient est 85, le reste 600 − 595 = 5.
600 = 7 × 85 + 5, avec 5 < 7.
16 × 101 = 1 616 ≤ 1 620 < 1 632 = 16 × 102 : le quotient est 101, le reste 1 620 − 1 616 = 4.
1 620 = 16 × 101 + 4, avec 4 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 239 = 7 × 35 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 239 = 7 × 33 + 8 : le « reste » 8 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(c) 239 = 7 × 34 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 7. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 34, reste 1.
Comme 1 < 34 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 239 par 34 : quotient 7, reste 1.
3. 185 = 18 × 10 + 5
En 10 soirs, elle lit 180 pages ; il lui en reste encore 5.
a) Il lui faut 10 + 1 = 11 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 5 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 944 | oui | non | non | non | non |
| 5 229 | non | oui | non | oui | non |
| 185 | non | non | oui | non | non |
| 537 | non | oui | non | non | non |
| 5 440 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
3 944 → 3 + 9 + 4 + 4 = 20 5 229 → 5 + 2 + 2 + 9 = 18 185 → 1 + 8 + 5 = 14
537 → 5 + 3 + 7 = 15 5 440 → 5 + 4 + 4 + 0 = 13
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 4 + 2 + □ = 6 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6 ; □ = 6 : 12
2 solutions : 420, 426.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 522, somme des chiffres 9.
« 9 est un diviseur de 208. » Faux. 208 = 9 × 23 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 18 + 6 × 2 = 18 + 12 = 30
B = 10 ÷ 2 × 4 = 5 × 4 = 20
C = (12 + 10) × 6 − 9 = 22 × 6 − 9 = 132 − 9 = 123
D = [6 + 3 × (6 − 5)] ÷ 5 = [6 + 3 × 1] ÷ 5 = [6 + 3] ÷ 5 = 9 ÷ 5 = 1,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × (7 × 5 + 8) = 3 × (35 + 8) = 3 × 43 = 129
6 + 9 × (8 + 8) = 6 + 9 × 16 = 6 + 144 = 150
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 26 × 17 + 26 × 83 = 26 × (17 + 83) = 26 × 100 = 2 600
F = 43 × 11 = 43 × (10 + 1) = 43 × 10 + 43 × 1 = 430 + 43 = 473
G = 35 + 0,75 + 65 = 35 + 65 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 10 × 10 = 10² 2 × 2 × 2 = 2³ 0,7 × 0,7 = 0,7²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 7² = 7 × 7 = 49 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
« (3 + 1)² = 3² + 1² » Faux. (3 + 1)² = 4² = 16, alors que 3² + 1² = 9 + 1 = 10.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 25 = 5² : carré
46 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 46 < 49 = 7²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
94 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 94 < 100 = 10²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 2² − 7 = 3 × 4 − 7 = 12 − 7 = 5
B = (3 × 2)² − 7 = 6² − 7 = 36 − 7 = 29
C = 1² + 7² = 1 + 49 = 50
D = (1 + 7)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 2 : 2a³ = 2 × 2³ = 2 × 8 = 16
Pour a = 10 : 2a³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 8 petits cubes sur 8 : 8² = 8 × 8 = 64.
a) On voit 64 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 8 couches de 64 petits cubes : 8³ = 8 × 8 × 8 = 512.
b) Il a utilisé 512 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 8 − 2 = 6 petits cubes d'arête. 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
c) 216 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 120 et 176. » → encore 55 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144, 169.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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