Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (18 + 9) ÷ 3 = 27 ÷ 3 = 9
B = 18 + 9 ÷ 3 = 18 + 3 = 21
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (7 + 3)² est un carré : c'est le carré de la somme de 7 et 3.
D = 6 + 9 × 3 est une somme : c'est la somme de 6 et du produit de 9 par 3.
E = (17 + 7) ÷ 8 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 17 et 7 par 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 70 = 560 ≤ 562 < 568 = 8 × 71 : le quotient est 70, le reste 562 − 560 = 2.
562 = 8 × 70 + 2, avec 2 < 8.
26 × 55 = 1 430 ≤ 1 455 < 1 456 = 26 × 56 : le quotient est 55, le reste 1 455 − 1 430 = 25.
1 455 = 26 × 55 + 25, avec 25 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 119 = 11 × 10 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 11. ✔
(b) 119 = 11 × 11 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 119 = 11 × 9 + 20 : le « reste » 20 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 10, reste 9.
Comme 9 < 10 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 119 par 10 : quotient 11, reste 9.
3. 169 = 15 × 11 + 4
En 11 soirs, elle lit 165 pages ; il lui en reste encore 4.
a) Il lui faut 11 + 1 = 12 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 4 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 8 330 | oui | non | oui | non | oui |
| 9 854 | oui | non | non | non | non |
| 597 | non | oui | non | non | non |
| 925 | non | non | oui | non | non |
| 4 977 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
8 330 → 8 + 3 + 3 + 0 = 14 9 854 → 9 + 8 + 5 + 4 = 26 597 → 5 + 9 + 7 = 21
925 → 9 + 2 + 5 = 16 4 977 → 4 + 9 + 7 + 7 = 27
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 0 = 1 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 8 : 9
Une seule solution : 180.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 16 est pair mais 16 = 3 × 5 + 1.
« 50 est un multiple de 3. » Faux. 50 = 3 × 16 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 21 + 9 × 9 = 21 + 81 = 102
B = 12 + 12 ÷ 6 × 2 = 12 + 2 × 2 = 12 + 4 = 16
C = (9 × 6 − 1) ÷ 2 = (54 − 1) ÷ 2 = 53 ÷ 2 = 26,5
D = 2 × [34 − (3 + 3)] = 2 × [34 − 6] = 2 × 28 = 56
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (4 + 7) + 7 = 5 × 11 + 7 = 55 + 7 = 62
5 + 8 − (2 − 2) = 5 + 8 − 0 = 13 − 0 = 13
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 5 × 47 × 20 = 5 × 20 × 47 = 100 × 47 = 4 700
F = 2,7 × 0,25 + 2,7 × 0,75 = 2,7 × (0,25 + 0,75) = 2,7 × 1 = 2,7
G = 13 × 11 = 13 × (10 + 1) = 13 × 10 + 13 × 1 = 130 + 13 = 143
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 9 × 9 = 9² 1,5 × 1,5 = 1,5²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 8² = 8 × 8 = 64 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 7² = 14 » Faux. 7² = 7 × 7 = 49. L'exposant ne multiplie pas : 7 × 2 = 14, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
21 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 21 < 25 = 5²) 30 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 30 < 36 = 6²)
49 = 7² : carré 56 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 56 < 64 = 8²)
81 = 9² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 4² − 2 = 2 × 16 − 2 = 32 − 2 = 30
B = (2 × 4)² − 2 = 8² − 2 = 64 − 2 = 62
C = 6² + 4² = 36 + 16 = 52
D = (6 + 4)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 4 : 2x³ = 2 × 4³ = 2 × 64 = 128
Pour x = 10 : 2x³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 9² = π × 81 = 81π
a) L'aire exacte est 81π m².
81 × 3,14 = 254,34
b) L'aire vaut environ 254 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 9², et non (π × 9)². On élève 9 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 69 et 110. » → encore 40 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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