Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 6 + 3 × 8 = 6 + 24 = 30
B = (6 + 3) × 8 = 9 × 8 = 72
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4² + 3² est une somme : c'est la somme des carrés de 4 et de 3.
D = 4² − 15 est une différence : c'est la différence entre le carré de 4 et 15.
E = 8 × (10 − 3) est un produit : c'est le produit de 8 par la différence entre 10 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 35 = 105 ≤ 106 < 108 = 3 × 36 : le quotient est 35, le reste 106 − 105 = 1.
106 = 3 × 35 + 1, avec 1 < 3.
21 × 101 = 2 121 ≤ 2 136 < 2 142 = 21 × 102 : le quotient est 101, le reste 2 136 − 2 121 = 15.
2 136 = 21 × 101 + 15, avec 15 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 71 = 7 × 9 + 8 : le « reste » 8 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(b) 71 = 7 × 10 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 7. ✔
(c) 71 = 7 × 11 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 10, reste 1.
Comme 1 < 10 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 71 par 10 : quotient 7, reste 1.
3. 107 = 6 × 17 + 5, avec 5 < 6
a) Elle remplit 17 boîtes pleines.
b) Il reste 5 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 515 | non | non | oui | non | non |
| 897 | non | oui | non | non | non |
| 1 210 | oui | non | oui | non | oui |
| 1 521 | non | oui | non | oui | non |
| 9 716 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
515 → 5 + 1 + 5 = 11 897 → 8 + 9 + 7 = 24 1 210 → 1 + 2 + 1 + 0 = 4
1 521 → 1 + 5 + 2 + 1 = 9 9 716 → 9 + 7 + 1 + 6 = 23
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 4 + 8 + □ = 12 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12
Une seule solution : 480.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 4 est un diviseur de 62. » Faux. 62 = 4 × 15 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 22 − 2 + 4 = 20 + 4 = 24
B = 6 × 8 − 5 × 2 = 48 − 10 = 38
C = (11 + 3) × 6 − 13 = 14 × 6 − 13 = 84 − 13 = 71
D = [3 + 3 × (9 − 1)] ÷ 5 = [3 + 3 × 8] ÷ 5 = [3 + 24] ÷ 5 = 27 ÷ 5 = 5,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 × 4 × (8 + 3) = 2 × 4 × 11 = 8 × 11 = 88
5 × 3 − (2 + 8) = 5 × 3 − 10 = 15 − 10 = 5
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 16 × 9 = 16 × (10 − 1) = 16 × 10 − 16 × 1 = 160 − 16 = 144
F = 5 × 84 × 20 = 5 × 20 × 84 = 100 × 84 = 8 400
G = 33 × 44 + 33 × 56 = 33 × (44 + 56) = 33 × 100 = 3 300
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 7 × 7 = 7² 2,5 × 2,5 = 2,5²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 11² = 11 × 11 = 121 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« (1 + 3)² = 1² + 3² » Faux. (1 + 3)² = 4² = 16, alors que 1² + 3² = 1 + 9 = 10.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 36 = 6² : carré
67 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 67 < 81 = 9²) 97 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 97 < 100 = 10²)
104 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 104 < 121 = 11²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 5² − 1 = 4 × 25 − 1 = 100 − 1 = 99
B = (4 × 5)² − 1 = 20² − 1 = 400 − 1 = 399
C = 5² + 1² = 25 + 1 = 26
D = (5 + 1)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 4 : a³ + 2 = 4³ + 2 = 64 + 2 = 66
Pour a = 10 : a³ + 2 = 10³ + 2 = 1 000 + 2 = 1 002
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 67 :
8² = 64 ≤ 67 et 9² = 81 > 67.
a) Elle mettra 8 dalles sur chaque côté.
67 − 64 = 3
b) Il lui restera 3 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 287 et 337. » → encore 49 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 289, 324.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 324.
Le nombre mystère est 324 (324 = 18²).
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