Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 3)² = 6² = 36
B = 2 × 3² = 2 × 9 = 18
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 10² − 3 est une différence : c'est la différence entre le carré de 10 et 3.
D = (1 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 3.
E = 7² + 6² est une somme : c'est la somme des carrés de 7 et de 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 61 = 244 ≤ 245 < 248 = 4 × 62 : le quotient est 61, le reste 245 − 244 = 1.
245 = 4 × 61 + 1, avec 1 < 4.
23 × 47 = 1 081 ≤ 1 083 < 1 104 = 23 × 48 : le quotient est 47, le reste 1 083 − 1 081 = 2.
1 083 = 23 × 47 + 2, avec 2 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 293 = 11 × 25 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(b) 293 = 11 × 27 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 293 = 11 × 26 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 11. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 26, reste 7.
Comme 7 < 26 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 293 par 26 : quotient 11, reste 7.
3. 412 = 30 × 13 + 22
En 13 soirs, elle lit 390 pages ; il lui en reste encore 22.
a) Il lui faut 13 + 1 = 14 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 22 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 835 | non | non | oui | non | non |
| 9 240 | oui | oui | oui | non | oui |
| 4 851 | non | oui | non | oui | non |
| 2 516 | oui | non | non | non | non |
| 957 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
835 → 8 + 3 + 5 = 16 9 240 → 9 + 2 + 4 + 0 = 15 4 851 → 4 + 8 + 5 + 1 = 18
2 516 → 2 + 5 + 1 + 6 = 14 957 → 9 + 5 + 7 = 21
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 8 + 7 + □ = 15 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 15
Une seule solution : 870.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 324, somme des chiffres 9.
« 140 est un multiple de 5. » Vrai. 140 = 5 × 28 : le reste de la division de 140 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 21 − 8 + 12 = 13 + 12 = 25
B = 12 + 35 ÷ 7 × 3 = 12 + 5 × 3 = 12 + 15 = 27
C = (4 × 7 − 6) ÷ 4 = (28 − 6) ÷ 4 = 22 ÷ 4 = 5,5
D = [3 + 3 × (9 − 1)] ÷ 5 = [3 + 3 × 8] ÷ 5 = [3 + 24] ÷ 5 = 27 ÷ 5 = 5,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × (8 − 3) − 8 = 3 × 5 − 8 = 15 − 8 = 7
(5 + 7) × 3 − 9 = 12 × 3 − 9 = 36 − 9 = 27
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 17 × 77 + 17 × 23 = 17 × (77 + 23) = 17 × 100 = 1 700
F = 32 × 11 = 32 × (10 + 1) = 32 × 10 + 32 × 1 = 320 + 32 = 352
G = 5 × 70 × 20 = 5 × 20 × 70 = 100 × 70 = 7 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 = 4² 6 × 6 × 6 = 6³ 0,4 × 0,4 = 0,4²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 12² = 12 × 12 = 144 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 4² = 8 » Faux. 4² = 4 × 4 = 16. L'exposant ne multiplie pas : 4 × 2 = 8, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
18 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 18 < 25 = 5²) 25 = 5² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 81 = 9² : carré
89 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 89 < 100 = 10²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 6 = 5 × 25 − 6 = 125 − 6 = 119
B = (5 × 5)² − 6 = 25² − 6 = 625 − 6 = 619
C = 4² + 7² = 16 + 49 = 65
D = (4 + 7)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 6 : n² + 3 = 6² + 3 = 36 + 3 = 39 et 4n = 4 × 6 = 24.
39 ≠ 24 : l'égalité est fausse pour n = 6.
Pour n = 3 : n² + 3 = 3² + 3 = 9 + 3 = 12 et 4n = 4 × 3 = 12.
12 = 12 : l'égalité est vraie pour n = 3.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 1, et seulement pour 3 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 85 :
9² = 81 ≤ 85 et 10² = 100 > 85.
a) Elle mettra 9 dalles sur chaque côté.
85 − 81 = 4
b) Il lui restera 4 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 251 et 324. » → encore 72 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 256, 289.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 289.
Le nombre mystère est 289 (289 = 17²).
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