Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 + 5)² = 7² = 49
B = 2² + 5² = 4 + 25 = 29
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (9 + 8) × 3 est un produit : c'est le produit de la somme de 9 et 8 par 3.
D = (2 + 4)² est un carré : c'est le carré de la somme de 2 et 4.
E = 4 + 2 × 6 est une somme : c'est la somme de 4 et du produit de 2 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 80 = 640 ≤ 647 < 648 = 8 × 81 : le quotient est 80, le reste 647 − 640 = 7.
647 = 8 × 80 + 7, avec 7 < 8.
24 × 17 = 408 ≤ 413 < 432 = 24 × 18 : le quotient est 17, le reste 413 − 408 = 5.
413 = 24 × 17 + 5, avec 5 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 299 = 15 × 18 + 29 : le « reste » 29 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(b) 299 = 15 × 20 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 299 = 15 × 19 + 14 : le reste 14 est bien inférieur à 15. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 19, reste 14.
Comme 14 < 19 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 299 par 19 : quotient 15, reste 14.
3. 121 = 15 × 8 + 1
8 minibus pleins transportent 120 élèves ; il en reste 1 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 8 + 1 = 9 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 15 − 1 = 14 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 101 | non | oui | non | oui | non |
| 9 338 | oui | non | non | non | non |
| 215 | non | non | oui | non | non |
| 5 280 | oui | oui | oui | non | oui |
| 771 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
7 101 → 7 + 1 + 0 + 1 = 9 9 338 → 9 + 3 + 3 + 8 = 23 215 → 2 + 1 + 5 = 8
5 280 → 5 + 2 + 8 + 0 = 15 771 → 7 + 7 + 1 = 15
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 4 + 8 + □ = 12 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12
Une seule solution : 480.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 21 est divisible par 3 (21 = 3 × 7) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 3, n'est pas dans la table de 9).
« 6 est un diviseur de 177. » Faux. 177 = 6 × 29 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 36 − 15 + 12 = 21 + 12 = 33
B = 15 + 63 ÷ 7 × 4 = 15 + 9 × 4 = 15 + 36 = 51
C = (6 × 4 − 4) ÷ 4 = (24 − 4) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5
D = 9,9 + 4 × 2,5 = 9,9 + 10 = 19,9
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 + 3 × (8 + 2) = 3 + 3 × 10 = 3 + 30 = 33
9 + 5 − (2 − 2) = 9 + 5 − 0 = 14 − 0 = 14
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 8 × 34 × 125 = 8 × 125 × 34 = 1 000 × 34 = 34 000
F = 4,5 × 0,8 + 4,5 × 0,2 = 4,5 × (0,8 + 0,2) = 4,5 × 1 = 4,5
G = 27 × 99 = 27 × (100 − 1) = 27 × 100 − 27 × 1 = 2 700 − 27 = 2 673
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 × 6 = 6³ 0,7 × 0,7 = 0,7² 10 × 10 = 10²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 12² = 12 × 12 = 144 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2 × 6² = 12² » Faux. 2 × 6² = 2 × 36 = 72, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 6.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 26 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 26 < 36 = 6²)
49 = 7² : carré 50 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 50 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 2² − 1 = 5 × 4 − 1 = 20 − 1 = 19
B = (5 × 2)² − 1 = 10² − 1 = 100 − 1 = 99
C = 4² + 1² = 16 + 1 = 17
D = (4 + 1)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 2x² − 2 = 2 × 4² − 2 = 2 × 16 − 2 = 32 − 2 = 30
B = (2x)² − 2 = (2 × 4)² − 2 = 8² − 2 = 64 − 2 = 62
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 2x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 400 : 20 × 20 = 400, c'est-à-dire 20² = 400.
a) Le côté mesure 20 m.
4 × 20 = 80
b) Le périmètre est de 80 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 11 et 45. » → encore 33 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 16, 25.
« Mon chiffre des unités est 5. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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