Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 18 + 10 ÷ 2 = 18 + 5 = 23
B = (18 + 10) ÷ 2 = 28 ÷ 2 = 14
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (5 + 67) ÷ 9 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 5 et 67 par 9.
D = (4 + 7)² est un carré : c'est le carré de la somme de 4 et 7.
E = 8² − 31 est une différence : c'est la différence entre le carré de 8 et 31.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 104 = 624 ≤ 628 < 630 = 6 × 105 : le quotient est 104, le reste 628 − 624 = 4.
628 = 6 × 104 + 4, avec 4 < 6.
11 × 51 = 561 ≤ 570 < 572 = 11 × 52 : le quotient est 51, le reste 570 − 561 = 9.
570 = 11 × 51 + 9, avec 9 < 11.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 194 = 10 × 18 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
(b) 194 = 10 × 19 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 10. ✔
(c) 194 = 10 × 20 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 19, reste 4.
Comme 4 < 19 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 194 par 19 : quotient 10, reste 4.
3. 162 = 20 × 8 + 2
En 8 soirs, elle lit 160 pages ; il lui en reste encore 2.
a) Il lui faut 8 + 1 = 9 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 2 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 835 | non | non | oui | non | non |
| 417 | non | oui | non | non | non |
| 5 490 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 1 702 | oui | non | non | non | non |
| 6 489 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
835 → 8 + 3 + 5 = 16 417 → 4 + 1 + 7 = 12 5 490 → 5 + 4 + 9 + 0 = 18
1 702 → 1 + 7 + 0 + 2 = 10 6 489 → 6 + 4 + 8 + 9 = 27
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 3 = 4 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 5 : 9
Une seule solution : 153.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 13 se termine par 3, mais 13 = 3 × 4 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 135 est un multiple de 9. » Vrai. 135 = 9 × 15 : le reste de la division de 135 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 22 + 5 × 3 = 22 + 15 = 37
B = 9 + 30 ÷ 6 × 3 = 9 + 5 × 3 = 9 + 15 = 24
C = (4 × 5 − 3) ÷ 5 = (20 − 3) ÷ 5 = 17 ÷ 5 = 3,4
D = 2,6 + 6 × 0,2 = 2,6 + 1,2 = 3,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 × (4 × 2 + 9) = 9 × (8 + 9) = 9 × 17 = 153
8 × (9 + 2 + 9) = 8 × (11 + 9) = 8 × 20 = 160
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4,5 × 0,4 + 4,5 × 0,6 = 4,5 × (0,4 + 0,6) = 4,5 × 1 = 4,5
F = 13 × 99 = 13 × (100 − 1) = 13 × 100 − 13 × 1 = 1 300 − 13 = 1 287
G = 29 + 12,6 + 71 = 29 + 71 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 = 6² 2,5 × 2,5 = 2,5² 2 × 2 × 2 = 2³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 7² = 7 × 7 = 49 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 9² = 18 » Faux. 9² = 9 × 9 = 81. L'exposant ne multiplie pas : 9 × 2 = 18, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 44 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 44 < 49 = 7²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 85 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 85 < 100 = 10²)
125 = 5³ : cube 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 2² − 4 = 3 × 4 − 4 = 12 − 4 = 8
B = (3 × 2)² − 4 = 6² − 4 = 36 − 4 = 32
C = 6² + 3² = 36 + 9 = 45
D = (6 + 3)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 7 : n² + 18 = 7² + 18 = 49 + 18 = 67 et 9n = 9 × 7 = 63.
67 ≠ 63 : l'égalité est fausse pour n = 7.
Pour n = 3 : n² + 18 = 3² + 18 = 9 + 18 = 27 et 9n = 9 × 3 = 27.
27 = 27 : l'égalité est vraie pour n = 3.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 6, et seulement pour 3 et 6.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 40 :
6² = 36 ≤ 40 et 7² = 49 > 40.
a) Elle mettra 6 dalles sur chaque côté.
40 − 36 = 4
b) Il lui restera 4 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 279 et 325. » → encore 45 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 289, 324.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 289.
Le nombre mystère est 289 (289 = 17²).
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