Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (11 + 3) × 2 = 14 × 2 = 28
B = 11 + 3 × 2 = 11 + 6 = 17
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (8 + 3) × 3 est un produit : c'est le produit de la somme de 8 et 3 par 3.
D = 2 + 49 ÷ 7 est une somme : c'est la somme de 2 et du quotient de 49 par 7.
E = 11² − 23 est une différence : c'est la différence entre le carré de 11 et 23.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 90 = 720 ≤ 721 < 728 = 8 × 91 : le quotient est 90, le reste 721 − 720 = 1.
721 = 8 × 90 + 1, avec 1 < 8.
22 × 83 = 1 826 ≤ 1 843 < 1 848 = 22 × 84 : le quotient est 83, le reste 1 843 − 1 826 = 17.
1 843 = 22 × 83 + 17, avec 17 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 159 = 10 × 16 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 159 = 10 × 14 + 19 : le « reste » 19 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
(c) 159 = 10 × 15 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 10. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 15, reste 9.
Comme 9 < 15 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 159 par 15 : quotient 10, reste 9.
3. 52 = 6 × 8 + 4, avec 4 < 6
a) Chaque joueur reçoit 8 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 6 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 2 122 | oui | non | non | non | non |
| 4 347 | non | oui | non | oui | non |
| 2 900 | oui | non | oui | non | oui |
| 867 | non | oui | non | non | non |
| 665 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
2 122 → 2 + 1 + 2 + 2 = 7 4 347 → 4 + 3 + 4 + 7 = 18 2 900 → 2 + 9 + 0 + 0 = 11
867 → 8 + 6 + 7 = 21 665 → 6 + 6 + 5 = 17
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 7 + 9 + □ = 16 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 18 ; □ = 8 : 24
2 solutions : 792, 798.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 13 se termine par 3, mais 13 = 3 × 4 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 4 est un diviseur de 49. » Faux. 49 = 4 × 12 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 7 + 7 × 7 = 7 + 49 = 56
B = 14 ÷ 2 × 4 = 7 × 4 = 28
C = (5 × 3 − 1) ÷ 5 = (15 − 1) ÷ 5 = 14 ÷ 5 = 2,8
D = 2 × [22 − (8 + 6)] = 2 × [22 − 14] = 2 × 8 = 16
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(4 + 5) × 6 − 4 = 9 × 6 − 4 = 54 − 4 = 50
7 − (5 + 6 − 8) = 7 − (11 − 8) = 7 − 3 = 4
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 13 × 9 = 13 × (10 − 1) = 13 × 10 − 13 × 1 = 130 − 13 = 117
F = 4,5 × 0,8 + 4,5 × 0,2 = 4,5 × (0,8 + 0,2) = 4,5 × 1 = 4,5
G = 2 × 46 × 50 = 2 × 50 × 46 = 100 × 46 = 4 600
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 9 × 9 = 9² 1,1 × 1,1 = 1,1² 3 × 3 × 3 = 3³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 10² = 10 × 10 = 100 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 3² = 4 + 9 = 13, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 2 × 4² = 8² » Faux. 2 × 4² = 2 × 16 = 32, alors que 8² = 64. Le carré ne porte que sur 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 27 = 3³ : cube
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 81 = 9² : carré
82 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 82 < 100 = 10²) 142 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 142 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 5 = 4 × 4 − 5 = 16 − 5 = 11
B = (4 × 2)² − 5 = 8² − 5 = 64 − 5 = 59
C = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
D = (4 + 6)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 4 : x² + 12 = 4² + 12 = 16 + 12 = 28 et 8x = 8 × 4 = 32.
28 ≠ 32 : l'égalité est fausse pour x = 4.
Pour x = 6 : x² + 12 = 6² + 12 = 36 + 12 = 48 et 8x = 8 × 6 = 48.
48 = 48 : l'égalité est vraie pour x = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 2, et seulement pour 6 et 2.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 3 petits cubes sur 3 : 3² = 3 × 3 = 9.
a) On voit 9 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 3 couches de 9 petits cubes : 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
b) Il a utilisé 27 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 3 − 2 = 1 petits cubes d'arête. 1³ = 1 × 1 × 1 = 1.
c) 1 petit cube n'a aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 111 et 162. » → encore 50 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144.
« Mon chiffre des unités est 4. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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