Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (4 + 5)² = 9² = 81
B = 4² + 5² = 16 + 25 = 41
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 6) × 7 est un produit : c'est le produit de la somme de 2 et 6 par 7.
D = 6² − 26 est une différence : c'est la différence entre le carré de 6 et 26.
E = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 64 = 576 ≤ 581 < 585 = 9 × 65 : le quotient est 64, le reste 581 − 576 = 5.
581 = 9 × 64 + 5, avec 5 < 9.
21 × 110 = 2 310 ≤ 2 321 < 2 331 = 21 × 111 : le quotient est 110, le reste 2 321 − 2 310 = 11.
2 321 = 21 × 110 + 11, avec 11 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 337 = 11 × 30 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 11. ✔
(b) 337 = 11 × 29 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 337 = 11 × 31 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 30, reste 7.
Comme 7 < 30 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 337 par 30 : quotient 11, reste 7.
3. 319 = 7 × 45 + 4
a) 319 jours font 45 semaines complètes et 4 jours.
Après 45 semaines complètes, on est de nouveau mardi. Il reste à avancer de 4 jours : mardi → mercredi → jeudi → vendredi → samedi.
b) Dans 319 jours, nous serons samedi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 605 | non | non | oui | non | non |
| 5 782 | oui | non | non | non | non |
| 7 480 | oui | non | oui | non | oui |
| 597 | non | oui | non | non | non |
| 9 693 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
605 → 6 + 0 + 5 = 11 5 782 → 5 + 7 + 8 + 2 = 22 7 480 → 7 + 4 + 8 + 0 = 19
597 → 5 + 9 + 7 = 21 9 693 → 9 + 6 + 9 + 3 = 27
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 1 = 10 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 5 : 15 ; □ = 8 : 18
3 solutions : 921, 951, 981.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 80 est pair mais 80 = 3 × 26 + 2.
« 3 est un diviseur de 56. » Faux. 56 = 3 × 18 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 4 + 2 × 5 = 4 + 10 = 14
B = 9 × 6 − 2 × 2 = 54 − 4 = 50
C = 56 − 2 × (19 − 3) = 56 − 2 × 16 = 56 − 32 = 24
D = [4 + 8 × (9 − 1)] ÷ 5 = [4 + 8 × 8] ÷ 5 = [4 + 64] ÷ 5 = 68 ÷ 5 = 13,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 + (4 + 8) × 4 = 8 + 12 × 4 = 8 + 48 = 56
(4 + 2 × 4) × 5 = (4 + 8) × 5 = 12 × 5 = 60
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4,5 × 0,8 + 4,5 × 0,2 = 4,5 × (0,8 + 0,2) = 4,5 × 1 = 4,5
F = 51 + 7,8 + 49 = 51 + 49 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
G = 42 × 9 = 42 × (10 − 1) = 42 × 10 − 42 × 1 = 420 − 42 = 378
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 11 × 11 = 11² 2 × 2 × 2 = 2³
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 9² = 9 × 9 = 81 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 2² = 1 + 4 = 5, qui n'est le carré d'aucun entier (2² = 4 et 3² = 9). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 2 × 5² = 10² » Faux. 2 × 5² = 2 × 25 = 50, alors que 10² = 100. Le carré ne porte que sur 5.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 79 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 79 < 81 = 9²)
99 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 99 < 100 = 10²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 4² − 6 = 5 × 16 − 6 = 80 − 6 = 74
B = (5 × 4)² − 6 = 20² − 6 = 400 − 6 = 394
C = 5² + 4² = 25 + 16 = 41
D = (5 + 4)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 3 : 2a³ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54
Pour a = 10 : 2a³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 400 : 20 × 20 = 400, c'est-à-dire 20² = 400.
a) Le côté mesure 20 m.
4 × 20 = 80
b) Le périmètre est de 80 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 141 et 198. » → encore 56 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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