Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (36 + 12) ÷ 6 = 48 ÷ 6 = 8
B = 36 + 12 ÷ 6 = 36 + 2 = 38
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (7 + 29) ÷ 9 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 7 et 29 par 9.
D = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
E = 3 + 6 × 3 est une somme : c'est la somme de 3 et du produit de 6 par 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 23 = 138 ≤ 143 < 144 = 6 × 24 : le quotient est 23, le reste 143 − 138 = 5.
143 = 6 × 23 + 5, avec 5 < 6.
18 × 56 = 1 008 ≤ 1 016 < 1 026 = 18 × 57 : le quotient est 56, le reste 1 016 − 1 008 = 8.
1 016 = 18 × 56 + 8, avec 8 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 165 = 7 × 24 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 165 = 7 × 22 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(c) 165 = 7 × 23 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 7. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 23, reste 4.
Comme 4 < 23 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 165 par 23 : quotient 7, reste 4.
3. 54 = 7 × 7 + 5, avec 5 < 7
a) Chaque joueur reçoit 7 cartes.
b) La pioche contient 5 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 7 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 325 | non | non | oui | non | non |
| 717 | non | oui | non | non | non |
| 7 290 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 9 261 | non | oui | non | oui | non |
| 9 866 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
325 → 3 + 2 + 5 = 10 717 → 7 + 1 + 7 = 15 7 290 → 7 + 2 + 9 + 0 = 18
9 261 → 9 + 2 + 6 + 1 = 18 9 866 → 9 + 8 + 6 + 6 = 29
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 0 = 4 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 5 : 9
Une seule solution : 450.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 513, somme des chiffres 9.
« 6 est un diviseur de 138. » Vrai. 138 = 6 × 23 : le reste de la division de 138 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 17 + 2 × 7 = 17 + 14 = 31
B = 5 × 9 − 5 × 3 = 45 − 15 = 30
C = 57 − 5 × (11 − 9) = 57 − 5 × 2 = 57 − 10 = 47
D = [9 + 6 × (10 − 1)] ÷ 2 = [9 + 6 × 9] ÷ 2 = [9 + 54] ÷ 2 = 63 ÷ 2 = 31,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (2 + 7) − 2 = 5 × 9 − 2 = 45 − 2 = 43
2 × (7 × 2 − 7) = 2 × (14 − 7) = 2 × 7 = 14
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 42 + 0,75 + 58 = 42 + 58 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
F = 34 × 81 − 34 × 71 = 34 × (81 − 71) = 34 × 10 = 340
G = 27 × 9 = 27 × (10 − 1) = 27 × 10 − 27 × 1 = 270 − 27 = 243
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 12 × 12 = 12² 4 × 4 × 4 = 4³ 1,5 × 1,5 = 1,5²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 6² = 6 × 6 = 36 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2 × 5² = 10² » Faux. 2 × 5² = 2 × 25 = 50, alors que 10² = 100. Le carré ne porte que sur 5.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 15 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 15 < 16 = 4²)
36 = 6² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
97 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 97 < 100 = 10²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 6² − 2 = 5 × 36 − 2 = 180 − 2 = 178
B = (5 × 6)² − 2 = 30² − 2 = 900 − 2 = 898
C = 1² + 7² = 1 + 49 = 50
D = (1 + 7)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 5 : 2x³ = 2 × 5³ = 2 × 125 = 250
Pour x = 10 : 2x³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 7² = π × 49 = 49π
a) L'aire exacte est 49π m².
49 × 3,14 = 153,86
b) L'aire vaut environ 154 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 7², et non (π × 7)². On élève 7 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 26 et 59. » → encore 32 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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