Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (30 + 45) ÷ 5 = 75 ÷ 5 = 15
B = 30 + 45 ÷ 5 = 30 + 9 = 39
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (7 + 2) × 8 est un produit : c'est le produit de la somme de 7 et 2 par 8.
D = 1² + 6² est une somme : c'est la somme des carrés de 1 et de 6.
E = (2 + 1)² est un carré : c'est le carré de la somme de 2 et 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 116 = 928 ≤ 933 < 936 = 8 × 117 : le quotient est 116, le reste 933 − 928 = 5.
933 = 8 × 116 + 5, avec 5 < 8.
26 × 78 = 2 028 ≤ 2 037 < 2 054 = 26 × 79 : le quotient est 78, le reste 2 037 − 2 028 = 9.
2 037 = 26 × 78 + 9, avec 9 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 436 = 11 × 40 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 436 = 11 × 39 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 11. ✔
(c) 436 = 11 × 38 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 39, reste 7.
Comme 7 < 39 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 436 par 39 : quotient 11, reste 7.
3. 119 = 16 × 7 + 7
7 minibus pleins transportent 112 élèves ; il en reste 7 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 7 + 1 = 8 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 16 − 7 = 9 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 471 | non | oui | non | non | non |
| 7 510 | oui | non | oui | non | oui |
| 275 | non | non | oui | non | non |
| 3 537 | non | oui | non | oui | non |
| 4 498 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
471 → 4 + 7 + 1 = 12 7 510 → 7 + 5 + 1 + 0 = 13 275 → 2 + 7 + 5 = 14
3 537 → 3 + 5 + 3 + 7 = 18 4 498 → 4 + 4 + 9 + 8 = 25
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 2 + 7 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9
Une seule solution : 270.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 13 se termine par 3, mais 13 = 3 × 4 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 9 est un diviseur de 99. » Vrai. 99 = 9 × 11 : le reste de la division de 99 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 44 − 11 + 15 = 33 + 15 = 48
B = 48 ÷ 8 × 3 = 6 × 3 = 18
C = (3 + 5) × 5 − 13 = 8 × 5 − 13 = 40 − 13 = 27
D = [5 + 2 × (12 − 1)] ÷ 2 = [5 + 2 × 11] ÷ 2 = [5 + 22] ÷ 2 = 27 ÷ 2 = 13,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(3 + 7 + 2) × 4 = (10 + 2) × 4 = 12 × 4 = 48
5 × (5 + 3) − 6 = 5 × 8 − 6 = 40 − 6 = 34
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 42 × 101 = 42 × (100 + 1) = 42 × 100 + 42 × 1 = 4 200 + 42 = 4 242
F = 5 × 70 × 20 = 5 × 20 × 70 = 100 × 70 = 7 000
G = 3,6 × 0,25 + 3,6 × 0,75 = 3,6 × (0,25 + 0,75) = 3,6 × 1 = 3,6
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 7 × 7 = 7² 2 × 2 × 2 = 2³ 2,5 × 2,5 = 2,5²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 8² = 8 × 8 = 64 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 5² = 10 » Faux. 5² = 5 × 5 = 25. L'exposant ne multiplie pas : 5 × 2 = 10, c'est le double.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 63 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 63 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 100 = 10² : carré
121 = 11² : carré 135 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 135 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 3 = 3 × 16 − 3 = 48 − 3 = 45
B = (3 × 4)² − 3 = 12² − 3 = 144 − 3 = 141
C = 3² + 5² = 9 + 25 = 34
D = (3 + 5)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 5 : x² + 2x = 5² + 2 × 5 = 25 + 2 × 5 = 25 + 10 = 35
Pour x = 0,5 : x² + 2x = 0,5² + 2 × 0,5 = 0,25 + 2 × 0,5 = 0,25 + 1 = 1,25
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 5 petits cubes sur 5 : 5² = 5 × 5 = 25.
a) On voit 25 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 5 couches de 25 petits cubes : 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
b) Il a utilisé 125 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 5 − 2 = 3 petits cubes d'arête. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
c) 27 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 31. » → encore 29 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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