Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 11 + 5 × 6 = 11 + 30 = 41
B = (11 + 5) × 6 = 16 × 6 = 96
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 25 − 4 × 4 est une différence : c'est la différence entre 25 et le produit de 4 par 4.
D = 2 × 5² est un produit : c'est le double du carré de 5.
E = 4 + 6 × 4 est une somme : c'est la somme de 4 et du produit de 6 par 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 255 = 765 ≤ 767 < 768 = 3 × 256 : le quotient est 255, le reste 767 − 765 = 2.
767 = 3 × 255 + 2, avec 2 < 3.
13 × 61 = 793 ≤ 803 < 806 = 13 × 62 : le quotient est 61, le reste 803 − 793 = 10.
803 = 13 × 61 + 10, avec 10 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 436 = 15 × 30 − 14 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 436 = 15 × 28 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(c) 436 = 15 × 29 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 15. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 29, reste 1.
Comme 1 < 29 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 436 par 29 : quotient 15, reste 1.
3. 143 = 12 × 11 + 11, avec 11 < 12
a) Elle remplit 11 boîtes pleines.
b) Il reste 11 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 701 | non | oui | non | oui | non |
| 5 100 | oui | oui | oui | non | oui |
| 875 | non | non | oui | non | non |
| 357 | non | oui | non | non | non |
| 3 592 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
1 701 → 1 + 7 + 0 + 1 = 9 5 100 → 5 + 1 + 0 + 0 = 6 875 → 8 + 7 + 5 = 20
357 → 3 + 5 + 7 = 15 3 592 → 3 + 5 + 9 + 2 = 19
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 4 + 6 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 15
Une seule solution : 465.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 80 est pair mais 80 = 3 × 26 + 2.
« 189 est un multiple de 9. » Vrai. 189 = 9 × 21 : le reste de la division de 189 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 9 + 8 × 9 = 9 + 72 = 81
B = 3 × 6 − 2 × 3 = 18 − 6 = 12
C = (2 + 4) × 3 − 10 = 6 × 3 − 10 = 18 − 10 = 8
D = 8,3 + 6 × 0,2 = 8,3 + 1,2 = 9,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 − (2 + 3) + 3 = 7 − 5 + 3 = 2 + 3 = 5
8 × (9 − 6 + 7) = 8 × (3 + 7) = 8 × 10 = 80
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 36 × 80 + 36 × 20 = 36 × (80 + 20) = 36 × 100 = 3 600
F = 4 × 41 × 25 = 4 × 25 × 41 = 100 × 41 = 4 100
G = 15 × 99 = 15 × (100 − 1) = 15 × 100 − 15 × 1 = 1 500 − 15 = 1 485
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 = 5² 0,7 × 0,7 = 0,7² 4 × 4 × 4 = 4³
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 6² = 6 × 6 = 36 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 3² = 1 + 9 = 10, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 2 × 6² = 12² » Faux. 2 × 6² = 2 × 36 = 72, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 6.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 27 = 3³ : cube
29 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 29 < 36 = 6²) 59 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 59 < 64 = 8²)
75 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 75 < 81 = 9²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 5 = 2 × 9 − 5 = 18 − 5 = 13
B = (2 × 3)² − 5 = 6² − 5 = 36 − 5 = 31
C = 7² + 4² = 49 + 16 = 65
D = (7 + 4)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 2a² − 6 = 2 × 2² − 6 = 2 × 4 − 6 = 8 − 6 = 2
B = (2a)² − 6 = (2 × 2)² − 6 = 4² − 6 = 16 − 6 = 10
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 2a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 4² = π × 16 = 16π
a) L'aire exacte est 16π m².
16 × 3,14 = 50,24
b) L'aire vaut environ 50 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 4², et non (π × 4)². On élève 4 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 122 et 179. » → encore 56 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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