Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 5)² = 10² = 100
B = 2 × 5² = 2 × 25 = 50
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 42 − 5 × 7 est une différence : c'est la différence entre 42 et le produit de 5 par 7.
D = 5 × (11 − 10) est un produit : c'est le produit de 5 par la différence entre 11 et 10.
E = 3² + 8² est une somme : c'est la somme des carrés de 3 et de 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 88 = 704 ≤ 705 < 712 = 8 × 89 : le quotient est 88, le reste 705 − 704 = 1.
705 = 8 × 88 + 1, avec 1 < 8.
17 × 122 = 2 074 ≤ 2 076 < 2 091 = 17 × 123 : le quotient est 122, le reste 2 076 − 2 074 = 2.
2 076 = 17 × 122 + 2, avec 2 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 62 = 7 × 8 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 7. ✔
(b) 62 = 7 × 9 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 62 = 7 × 7 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 8, reste 6.
Comme 6 < 8 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 62 par 8 : quotient 7, reste 6.
3. 194 = 30 × 6 + 14
En 6 soirs, elle lit 180 pages ; il lui en reste encore 14.
a) Il lui faut 6 + 1 = 7 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 14 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 500 | oui | non | oui | non | oui |
| 5 967 | non | oui | non | oui | non |
| 4 666 | oui | non | non | non | non |
| 145 | non | non | oui | non | non |
| 201 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
9 500 → 9 + 5 + 0 + 0 = 14 5 967 → 5 + 9 + 6 + 7 = 27 4 666 → 4 + 6 + 6 + 6 = 22
145 → 1 + 4 + 5 = 10 201 → 2 + 0 + 1 = 3
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 8 + 5 + □ = 13 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 15 ; □ = 8 : 21
2 solutions : 852, 858.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 32 est pair mais 32 = 3 × 10 + 2.
« 9 est un diviseur de 197. » Faux. 197 = 9 × 21 + 8 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 26 + 4 × 4 = 26 + 16 = 42
B = 4 + 28 ÷ 7 × 4 = 4 + 4 × 4 = 4 + 16 = 20
C = (4 × 7 − 7) ÷ 5 = (28 − 7) ÷ 5 = 21 ÷ 5 = 4,2
D = [4 + 9 × (7 − 5)] ÷ 5 = [4 + 9 × 2] ÷ 5 = [4 + 18] ÷ 5 = 22 ÷ 5 = 4,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × (3 + 5) + 7 = 6 × 8 + 7 = 48 + 7 = 55
(5 + 8 + 8) × 9 = (13 + 8) × 9 = 21 × 9 = 189
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 26 × 18 + 26 × 82 = 26 × (18 + 82) = 26 × 100 = 2 600
F = 8 × 81 × 125 = 8 × 125 × 81 = 1 000 × 81 = 81 000
G = 17 × 99 = 17 × (100 − 1) = 17 × 100 − 17 × 1 = 1 700 − 17 = 1 683
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 = 6² 5 × 5 × 5 = 5³ 0,7 × 0,7 = 0,7²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 4 × 6² = 24² » Faux. 4 × 6² = 4 × 36 = 144, alors que 24² = 576. Le carré ne porte que sur 6.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 27 = 3³ : cube
68 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 68 < 81 = 9²) 100 = 10² : carré
111 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 111 < 121 = 11²) 124 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 124 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 8 = 4 × 4 − 8 = 16 − 8 = 8
B = (4 × 2)² − 8 = 8² − 8 = 64 − 8 = 56
C = 3² + 7² = 9 + 49 = 58
D = (3 + 7)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 3a² − 5 = 3 × 3² − 5 = 3 × 9 − 5 = 27 − 5 = 22
B = (3a)² − 5 = (3 × 3)² − 5 = 9² − 5 = 81 − 5 = 76
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 3a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 60 :
7² = 49 ≤ 60 et 8² = 64 > 60.
a) Elle mettra 7 dalles sur chaque côté.
60 − 49 = 11
b) Il lui restera 11 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 98 et 153. » → encore 54 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121, 144.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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