Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (16 − 5) × 3 = 11 × 3 = 33
B = 16 − 5 × 3 = 16 − 15 = 1
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 19 + 45 ÷ 5 est une somme : c'est la somme de 19 et du quotient de 45 par 5.
D = (3 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 2.
E = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 201 = 804 ≤ 805 < 808 = 4 × 202 : le quotient est 201, le reste 805 − 804 = 1.
805 = 4 × 201 + 1, avec 1 < 4.
13 × 35 = 455 ≤ 467 < 468 = 13 × 36 : le quotient est 35, le reste 467 − 455 = 12.
467 = 13 × 35 + 12, avec 12 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 461 = 15 × 29 + 26 : le « reste » 26 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(b) 461 = 15 × 30 + 11 : le reste 11 est bien inférieur à 15. ✔
(c) 461 = 15 × 31 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 30, reste 11.
Comme 11 < 30 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 461 par 30 : quotient 15, reste 11.
3. 32 = 6 × 5 + 2, avec 2 < 6
a) Chaque joueur reçoit 5 cartes.
b) La pioche contient 2 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 6 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 327 | non | oui | non | non | non |
| 785 | non | non | oui | non | non |
| 8 554 | oui | non | non | non | non |
| 7 620 | oui | oui | oui | non | oui |
| 7 299 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
327 → 3 + 2 + 7 = 12 785 → 7 + 8 + 5 = 20 8 554 → 8 + 5 + 5 + 4 = 22
7 620 → 7 + 6 + 2 + 0 = 15 7 299 → 7 + 2 + 9 + 9 = 27
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 3 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 1 : 9
Une seule solution : 513.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 24 est divisible par 3 (24 = 3 × 8) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 7 est un diviseur de 135. » Faux. 135 = 7 × 19 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 73 − 6 × 9 = 73 − 54 = 19
B = 21 ÷ 7 × 4 = 3 × 4 = 12
C = (9 × 5 − 5) ÷ 4 = (45 − 5) ÷ 4 = 40 ÷ 4 = 10
D = 2 × [35 − (5 + 3)] = 2 × [35 − 8] = 2 × 27 = 54
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(2 + 5) × 2 − 9 = 7 × 2 − 9 = 14 − 9 = 5
9 − (2 + 7 − 8) = 9 − (9 − 8) = 9 − 1 = 8
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 3,6 × 1,3 + 3,6 × 8,7 = 3,6 × (1,3 + 8,7) = 3,6 × 10 = 36
F = 18 × 9 = 18 × (10 − 1) = 18 × 10 − 18 × 1 = 180 − 18 = 162
G = 2 × 23 × 50 = 2 × 50 × 23 = 100 × 23 = 2 300
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 6 × 6 = 6² 6 × 6 × 6 = 6³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 12² = 12 × 12 = 144 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « (1 + 3)² = 1² + 3² » Faux. (1 + 3)² = 4² = 16, alors que 1² + 3² = 1 + 9 = 10.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
44 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 44 < 49 = 7²) 47 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 47 < 49 = 7²)
49 = 7² : carré 72 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 72 < 81 = 9²)
121 = 11² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 2 = 4 × 4 − 2 = 16 − 2 = 14
B = (4 × 2)² − 2 = 8² − 2 = 64 − 2 = 62
C = 7² + 5² = 49 + 25 = 74
D = (7 + 5)² = 12² = 144
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 3 : x² + 2 = 3² + 2 = 9 + 2 = 11 et 3x = 3 × 3 = 9.
11 ≠ 9 : l'égalité est fausse pour x = 3.
Pour x = 2 : x² + 2 = 2² + 2 = 4 + 2 = 6 et 3x = 3 × 2 = 6.
6 = 6 : l'égalité est vraie pour x = 2.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 1, et seulement pour 2 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 6² = π × 36 = 36π
a) L'aire exacte est 36π m².
36 × 3,14 = 113,04
b) L'aire vaut environ 113 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 6², et non (π × 6)². On élève 6 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 25 et 55. » → encore 29 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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