Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 26 − 5 × 4 = 26 − 20 = 6
B = (26 − 5) × 4 = 21 × 4 = 84
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9² + 7² est une somme : c'est la somme des carrés de 9 et de 7.
D = 4 × (8 − 3) est un produit : c'est le produit de 4 par la différence entre 8 et 3.
E = 6² − 1 est une différence : c'est la différence entre le carré de 6 et 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 57 = 513 ≤ 516 < 522 = 9 × 58 : le quotient est 57, le reste 516 − 513 = 3.
516 = 9 × 57 + 3, avec 3 < 9.
21 × 49 = 1 029 ≤ 1 042 < 1 050 = 21 × 50 : le quotient est 49, le reste 1 042 − 1 029 = 13.
1 042 = 21 × 49 + 13, avec 13 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 123 = 10 × 11 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
(b) 123 = 10 × 12 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 10. ✔
(c) 123 = 10 × 13 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 12, reste 3.
Comme 3 < 12 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 123 par 12 : quotient 10, reste 3.
3. 198 = 7 × 28 + 2
a) 198 jours font 28 semaines complètes et 2 jours.
Après 28 semaines complètes, on est de nouveau lundi. Il reste à avancer de 2 jours : lundi → mardi → mercredi.
b) Dans 198 jours, nous serons mercredi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 8 320 | oui | non | oui | non | oui |
| 411 | non | oui | non | non | non |
| 385 | non | non | oui | non | non |
| 7 736 | oui | non | non | non | non |
| 3 663 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
8 320 → 8 + 3 + 2 + 0 = 13 411 → 4 + 1 + 1 = 6 385 → 3 + 8 + 5 = 16
7 736 → 7 + 7 + 3 + 6 = 23 3 663 → 3 + 6 + 6 + 3 = 18
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 5 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9 ; □ = 3 : 12 ; □ = 6 : 15 ; □ = 9 : 18
4 solutions : 405, 435, 465, 495.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 57 est divisible par 3 (57 = 3 × 19) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 6 est un diviseur de 174. » Vrai. 174 = 6 × 29 : le reste de la division de 174 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 72 − 6 × 8 = 72 − 48 = 24
B = 15 ÷ 3 × 4 = 5 × 4 = 20
C = (7 + 7) × 4 − 8 = 14 × 4 − 8 = 56 − 8 = 48
D = 3 × [31 − (8 + 7)] = 3 × [31 − 15] = 3 × 16 = 48
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × 2 − (3 + 3) = 4 × 2 − 6 = 8 − 6 = 2
4 − (2 + 6 − 8) = 4 − (8 − 8) = 4 − 0 = 4
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 13 + 7,8 + 87 = 13 + 87 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
F = 41 × 9 = 41 × (10 − 1) = 41 × 10 − 41 × 1 = 410 − 41 = 369
G = 23 × 37 + 23 × 63 = 23 × (37 + 63) = 23 × 100 = 2 300
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 9 × 9 = 9² 0,4 × 0,4 = 0,4²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 7² = 7 × 7 = 49 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « (1 + 4)² = 1² + 4² » Faux. (1 + 4)² = 5² = 25, alors que 1² + 4² = 1 + 16 = 17.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
20 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 20 < 25 = 5²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
76 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 76 < 81 = 9²) 81 = 9² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 2² − 7 = 5 × 4 − 7 = 20 − 7 = 13
B = (5 × 2)² − 7 = 10² − 7 = 100 − 7 = 93
C = 4² + 7² = 16 + 49 = 65
D = (4 + 7)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 5x² − 8 = 5 × 3² − 8 = 5 × 9 − 8 = 45 − 8 = 37
B = (5x)² − 8 = (5 × 3)² − 8 = 15² − 8 = 225 − 8 = 217
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 5x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 3² = π × 9 = 9π
a) L'aire exacte est 9π m².
9 × 3,14 = 28,26
b) L'aire vaut environ 28 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 3², et non (π × 3)². On élève 3 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 139 et 177. » → encore 37 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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