Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (30 − 6) × 3 = 24 × 3 = 72
B = 30 − 6 × 3 = 30 − 18 = 12
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 11 + 36 ÷ 6 est une somme : c'est la somme de 11 et du quotient de 36 par 6.
D = 33 − 2 × 7 est une différence : c'est la différence entre 33 et le produit de 2 par 7.
E = 2 × 9² est un produit : c'est le double du carré de 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 45 = 360 ≤ 366 < 368 = 8 × 46 : le quotient est 45, le reste 366 − 360 = 6.
366 = 8 × 45 + 6, avec 6 < 8.
22 × 39 = 858 ≤ 876 < 880 = 22 × 40 : le quotient est 39, le reste 876 − 858 = 18.
876 = 22 × 39 + 18, avec 18 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 474 = 14 × 33 + 12 : le reste 12 est bien inférieur à 14. ✔
(b) 474 = 14 × 32 + 26 : le « reste » 26 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(c) 474 = 14 × 34 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 33, reste 12.
Comme 12 < 33 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 474 par 33 : quotient 14, reste 12.
3. 198 = 7 × 28 + 2
a) 198 jours font 28 semaines complètes et 2 jours.
Après 28 semaines complètes, on est de nouveau vendredi. Il reste à avancer de 2 jours : vendredi → samedi → dimanche.
b) Dans 198 jours, nous serons dimanche.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 632 | oui | non | non | non | non |
| 985 | non | non | oui | non | non |
| 777 | non | oui | non | non | non |
| 7 083 | non | oui | non | oui | non |
| 1 460 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
5 632 → 5 + 6 + 3 + 2 = 16 985 → 9 + 8 + 5 = 22 777 → 7 + 7 + 7 = 21
7 083 → 7 + 0 + 8 + 3 = 18 1 460 → 1 + 4 + 6 + 0 = 11
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 2 + 8 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 15
Une seule solution : 285.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 21 est divisible par 3 (21 = 3 × 7) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 3, n'est pas dans la table de 9).
« 140 est un multiple de 8. » Faux. 140 = 8 × 17 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 22 + 3 × 6 = 22 + 18 = 40
B = 20 + 40 ÷ 5 × 4 = 20 + 8 × 4 = 20 + 32 = 52
C = (9 × 6 − 9) ÷ 2 = (54 − 9) ÷ 2 = 45 ÷ 2 = 22,5
D = 2 × [37 − (4 + 8)] = 2 × [37 − 12] = 2 × 25 = 50
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 × (3 + 9 × 9) = 2 × (3 + 81) = 2 × 84 = 168
5 × (9 + 4) + 4 = 5 × 13 + 4 = 65 + 4 = 69
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 36 × 62 − 36 × 52 = 36 × (62 − 52) = 36 × 10 = 360
F = 40 + 0,75 + 60 = 40 + 60 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
G = 26 × 99 = 26 × (100 − 1) = 26 × 100 − 26 × 1 = 2 600 − 26 = 2 574
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 = 4² 0,7 × 0,7 = 0,7² 6 × 6 × 6 = 6³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 11² = 11 × 11 = 121 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 7² = 14 » Faux. 7² = 7 × 7 = 49. L'exposant ne multiplie pas : 7 × 2 = 14, c'est le double.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
22 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 22 < 25 = 5²) 49 = 7² : carré
121 = 11² : carré 145 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 145 < 169 = 13²)
146 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 146 < 169 = 13²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 4 = 4 × 4 − 4 = 16 − 4 = 12
B = (4 × 2)² − 4 = 8² − 4 = 64 − 4 = 60
C = 2² + 6² = 4 + 36 = 40
D = (2 + 6)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 5a² − 8 = 5 × 5² − 8 = 5 × 25 − 8 = 125 − 8 = 117
B = (5a)² − 8 = (5 × 5)² − 8 = 25² − 8 = 625 − 8 = 617
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 5a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 20³ = 20 × 20 × 20 = 8 000
a) Le volume est de 8 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
8 000 ÷ 1 000 = 8
b) L'aquarium contient 8 litres.
Autre façon de voir : 20 cm, c'est 2 fois 10 cm ; on range 2 × 2 × 2 = 8 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 43 et 71. » → encore 27 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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