Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 5² = 2 × 25 = 50
B = (2 × 5)² = 10² = 100
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 6 × (16 − 11) est un produit : c'est le produit de 6 par la différence entre 16 et 11.
D = 3 + 36 ÷ 6 est une somme : c'est la somme de 3 et du quotient de 36 par 6.
E = (2 + 3)² est un carré : c'est le carré de la somme de 2 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 119 = 357 ≤ 358 < 360 = 3 × 120 : le quotient est 119, le reste 358 − 357 = 1.
358 = 3 × 119 + 1, avec 1 < 3.
27 × 23 = 621 ≤ 626 < 648 = 27 × 24 : le quotient est 23, le reste 626 − 621 = 5.
626 = 27 × 23 + 5, avec 5 < 27.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 246 = 10 × 24 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 10. ✔
(b) 246 = 10 × 23 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
(c) 246 = 10 × 25 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 24, reste 6.
Comme 6 < 24 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 246 par 24 : quotient 10, reste 6.
3. 77 = 9 × 8 + 5
8 minibus pleins transportent 72 élèves ; il en reste 5 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 8 + 1 = 9 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 9 − 5 = 4 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 226 | oui | non | non | non | non |
| 4 560 | oui | oui | oui | non | oui |
| 5 337 | non | oui | non | oui | non |
| 561 | non | oui | non | non | non |
| 605 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
3 226 → 3 + 2 + 2 + 6 = 13 4 560 → 4 + 5 + 6 + 0 = 15 5 337 → 5 + 3 + 3 + 7 = 18
561 → 5 + 6 + 1 = 12 605 → 6 + 0 + 5 = 11
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 6 + 7 + □ = 13 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 18
Une seule solution : 675.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 882, somme des chiffres 18.
« 78 est un multiple de 6. » Vrai. 78 = 6 × 13 : le reste de la division de 78 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 76 − 6 × 3 = 76 − 18 = 58
B = 15 ÷ 5 × 4 = 3 × 4 = 12
C = 98 − 5 × (15 − 7) = 98 − 5 × 8 = 98 − 40 = 58
D = 3 × [35 − (4 + 6)] = 3 × [35 − 10] = 3 × 25 = 75
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(5 + 3) × 4 − 9 = 8 × 4 − 9 = 32 − 9 = 23
4 × (5 + 5 + 4) = 4 × (10 + 4) = 4 × 14 = 56
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 8 × 21 × 125 = 8 × 125 × 21 = 1 000 × 21 = 21 000
F = 29 × 65 + 29 × 35 = 29 × (65 + 35) = 29 × 100 = 2 900
G = 46 × 9 = 46 × (10 − 1) = 46 × 10 − 46 × 1 = 460 − 46 = 414
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 8 × 8 = 8² 1,1 × 1,1 = 1,1²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 7² = 7 × 7 = 49 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 4² = 1 + 16 = 17, qui n'est le carré d'aucun entier (4² = 16 et 5² = 25). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 8² = 16 » Faux. 8² = 8 × 8 = 64. L'exposant ne multiplie pas : 8 × 2 = 16, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
49 = 7² : carré 100 = 10² : carré
115 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 115 < 121 = 11²) 126 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 126 < 144 = 12²)
135 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 135 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 5² − 5 = 2 × 25 − 5 = 50 − 5 = 45
B = (2 × 5)² − 5 = 10² − 5 = 100 − 5 = 95
C = 2² + 5² = 4 + 25 = 29
D = (2 + 5)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 1 : n² + 3 = 1² + 3 = 1 + 3 = 4 et 4n = 4 × 1 = 4.
4 = 4 : l'égalité est vraie pour n = 1.
Pour n = 8 : n² + 3 = 8² + 3 = 64 + 3 = 67 et 4n = 4 × 8 = 32.
67 ≠ 32 : l'égalité est fausse pour n = 8.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 3, et seulement pour 1 et 3.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
5 × 2 = 10
a) Il faut 10 carreaux le long d'un côté.
10 rangées de 10 carreaux : 10² = 10 × 10 = 100
b) Il faut 100 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 187 et 243. » → encore 55 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 196, 225.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 225.
Le nombre mystère est 225 (225 = 15²).
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