Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (10 + 40) ÷ 5 = 50 ÷ 5 = 10
B = 10 + 40 ÷ 5 = 10 + 8 = 18
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 14 + 42 ÷ 6 est une somme : c'est la somme de 14 et du quotient de 42 par 6.
D = 2 × 6² est un produit : c'est le double du carré de 6.
E = (3 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 319 = 957 ≤ 958 < 960 = 3 × 320 : le quotient est 319, le reste 958 − 957 = 1.
958 = 3 × 319 + 1, avec 1 < 3.
19 × 22 = 418 ≤ 427 < 437 = 19 × 23 : le quotient est 22, le reste 427 − 418 = 9.
427 = 19 × 22 + 9, avec 9 < 19.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 117 = 6 × 19 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 6. ✔
(b) 117 = 6 × 18 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(c) 117 = 6 × 20 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 19, reste 3.
Comme 3 < 19 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 117 par 19 : quotient 6, reste 3.
3. 105 = 12 × 8 + 9, avec 9 < 12
a) Elle remplit 8 boîtes pleines.
b) Il reste 9 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 960 | oui | non | oui | non | oui |
| 537 | non | oui | non | non | non |
| 425 | non | non | oui | non | non |
| 1 161 | non | oui | non | oui | non |
| 5 324 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
1 960 → 1 + 9 + 6 + 0 = 16 537 → 5 + 3 + 7 = 15 425 → 4 + 2 + 5 = 11
1 161 → 1 + 1 + 6 + 1 = 9 5 324 → 5 + 3 + 2 + 4 = 14
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 2 = 10 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 5 : 15 ; □ = 8 : 18
3 solutions : 822, 852, 882.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 88 est un multiple de 7. » Faux. 88 = 7 × 12 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 27 − 5 + 8 = 22 + 8 = 30
B = 56 ÷ 7 × 3 = 8 × 3 = 24
C = (3 × 9 − 9) ÷ 5 = (27 − 9) ÷ 5 = 18 ÷ 5 = 3,6
D = 2,1 + 2 × 1,5 = 2,1 + 3 = 5,1
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 + 5 − (5 + 8) = 9 + 5 − 13 = 14 − 13 = 1
(7 + 9 + 9) × 2 = (16 + 9) × 2 = 25 × 2 = 50
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 35 × 99 = 35 × (100 − 1) = 35 × 100 − 35 × 1 = 3 500 − 35 = 3 465
F = 4,5 × 0,8 + 4,5 × 0,2 = 4,5 × (0,8 + 0,2) = 4,5 × 1 = 4,5
G = 2 × 80 × 5 = 2 × 5 × 80 = 10 × 80 = 800
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 6 × 6 = 6² 2 × 2 × 2 = 2³
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 9² = 9 × 9 = 81 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 3² + 5² = 9 + 25 = 34, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« (1 + 4)² = 1² + 4² » Faux. (1 + 4)² = 5² = 25, alors que 1² + 4² = 1 + 16 = 17.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 35 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 35 < 36 = 6²)
41 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 41 < 49 = 7²) 50 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 50 < 64 = 8²)
121 = 11² : carré 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 5² − 6 = 4 × 25 − 6 = 100 − 6 = 94
B = (4 × 5)² − 6 = 20² − 6 = 400 − 6 = 394
C = 3² + 6² = 9 + 36 = 45
D = (3 + 6)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 5 : x² − 2x + 16 = 5² − 2 × 5 + 16 = 25 − 2 × 5 + 16 = 25 − 10 + 16 = 15 + 16 = 31
Pour x = 10 : x² − 2x + 16 = 10² − 2 × 10 + 16 = 100 − 2 × 10 + 16 = 100 − 20 + 16 = 80 + 16 = 96
Exercice 7 — Correction
1. V = 30³ = 30 × 30 × 30 = 27 000
a) Le volume est de 27 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
27 000 ÷ 1 000 = 27
b) L'aquarium contient 27 litres.
Autre façon de voir : 30 cm, c'est 3 fois 10 cm ; on range 3 × 3 × 3 = 27 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 239 et 291. » → encore 51 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 256, 289.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 256.
Le nombre mystère est 256 (256 = 16²).
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