Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (4 + 8) × 7 = 12 × 7 = 84
B = 4 + 8 × 7 = 4 + 56 = 60
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
D = 17 − 6 × 2 est une différence : c'est la différence entre 17 et le produit de 6 par 2.
E = (2 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 114 = 456 ≤ 459 < 460 = 4 × 115 : le quotient est 114, le reste 459 − 456 = 3.
459 = 4 × 114 + 3, avec 3 < 4.
18 × 128 = 2 304 ≤ 2 307 < 2 322 = 18 × 129 : le quotient est 128, le reste 2 307 − 2 304 = 3.
2 307 = 18 × 128 + 3, avec 3 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 342 = 12 × 27 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(b) 342 = 12 × 28 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 12. ✔
(c) 342 = 12 × 29 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 28, reste 6.
Comme 6 < 28 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 342 par 28 : quotient 12, reste 6.
3. 107 = 18 × 5 + 17
En 5 soirs, elle lit 90 pages ; il lui en reste encore 17.
a) Il lui faut 5 + 1 = 6 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 17 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 861 | non | oui | non | non | non |
| 385 | non | non | oui | non | non |
| 2 619 | non | oui | non | oui | non |
| 8 270 | oui | non | oui | non | oui |
| 7 216 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
861 → 8 + 6 + 1 = 15 385 → 3 + 8 + 5 = 16 2 619 → 2 + 6 + 1 + 9 = 18
8 270 → 8 + 2 + 7 + 0 = 17 7 216 → 7 + 2 + 1 + 6 = 16
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 2 + 7 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9 ; □ = 6 : 15
2 solutions : 270, 276.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 73 se termine par 3, mais 73 = 3 × 24 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 8 est un diviseur de 172. » Faux. 172 = 8 × 21 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 14 + 9 × 2 = 14 + 18 = 32
B = 7 + 8 ÷ 4 × 2 = 7 + 2 × 2 = 7 + 4 = 11
C = 69 − 2 × (17 − 4) = 69 − 2 × 13 = 69 − 26 = 43
D = [8 + 6 × (8 − 2)] ÷ 2 = [8 + 6 × 6] ÷ 2 = [8 + 36] ÷ 2 = 44 ÷ 2 = 22
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × (8 − 6) − 7 = 7 × 2 − 7 = 14 − 7 = 7
3 + 6 × (3 + 3) = 3 + 6 × 6 = 3 + 36 = 39
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 31 × 11 = 31 × (10 + 1) = 31 × 10 + 31 × 1 = 310 + 31 = 341
F = 8 × 51 × 125 = 8 × 125 × 51 = 1 000 × 51 = 51 000
G = 3,6 × 0,25 + 3,6 × 0,75 = 3,6 × (0,25 + 0,75) = 3,6 × 1 = 3,6
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 = 3² 6 × 6 × 6 = 6³ 2,5 × 2,5 = 2,5²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 9² = 9 × 9 = 81 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 39 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 39 < 49 = 7²)
44 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 44 < 49 = 7²) 47 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 47 < 49 = 7²)
49 = 7² : carré 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 5² − 8 = 2 × 25 − 8 = 50 − 8 = 42
B = (2 × 5)² − 8 = 10² − 8 = 100 − 8 = 92
C = 5² + 7² = 25 + 49 = 74
D = (5 + 7)² = 12² = 144
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 8 : n² + 2 = 8² + 2 = 64 + 2 = 66 et 3n = 3 × 8 = 24.
66 ≠ 24 : l'égalité est fausse pour n = 8.
Pour n = 1 : n² + 2 = 1² + 2 = 1 + 2 = 3 et 3n = 3 × 1 = 3.
3 = 3 : l'égalité est vraie pour n = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 2, et seulement pour 1 et 2.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 158 :
12² = 144 ≤ 158 et 13² = 169 > 158.
a) Elle mettra 12 dalles sur chaque côté.
158 − 144 = 14
b) Il lui restera 14 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 44 et 105. » → encore 60 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64, 81, 100.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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