Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (4 + 7)² = 11² = 121
B = 4² + 7² = 16 + 49 = 65
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5² − 23 est une différence : c'est la différence entre le carré de 5 et 23.
D = 15 + 9 × 3 est une somme : c'est la somme de 15 et du produit de 9 par 3.
E = (12 + 7) × 5 est un produit : c'est le produit de la somme de 12 et 7 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 142 = 710 ≤ 714 < 715 = 5 × 143 : le quotient est 142, le reste 714 − 710 = 4.
714 = 5 × 142 + 4, avec 4 < 5.
24 × 35 = 840 ≤ 846 < 864 = 24 × 36 : le quotient est 35, le reste 846 − 840 = 6.
846 = 24 × 35 + 6, avec 6 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 339 = 10 × 34 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 339 = 10 × 32 + 19 : le « reste » 19 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
(c) 339 = 10 × 33 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 10. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 33, reste 9.
Comme 9 < 33 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 339 par 33 : quotient 10, reste 9.
3. 52 = 8 × 6 + 4, avec 4 < 8
a) Chaque joueur reçoit 6 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 8 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 821 | non | oui | non | oui | non |
| 595 | non | non | oui | non | non |
| 2 518 | oui | non | non | non | non |
| 141 | non | oui | non | non | non |
| 2 190 | oui | oui | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
7 821 → 7 + 8 + 2 + 1 = 18 595 → 5 + 9 + 5 = 19 2 518 → 2 + 5 + 1 + 8 = 16
141 → 1 + 4 + 1 = 6 2 190 → 2 + 1 + 9 + 0 = 12
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 9 = 13 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 5 : 18
Une seule solution : 459.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 567, somme des chiffres 18.
« 7 est un diviseur de 149. » Faux. 149 = 7 × 21 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 69 − 6 × 3 = 69 − 18 = 51
B = 72 ÷ 8 × 4 = 9 × 4 = 36
C = 90 − 3 × (11 − 9) = 90 − 3 × 2 = 90 − 6 = 84
D = 9,9 + 6 × 1,5 = 9,9 + 9 = 18,9
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 + 9 × (4 − 3) = 7 + 9 × 1 = 7 + 9 = 16
4 × (8 × 3 + 9) = 4 × (24 + 9) = 4 × 33 = 132
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 19 × 101 = 19 × (100 + 1) = 19 × 100 + 19 × 1 = 1 900 + 19 = 1 919
F = 23 + 0,75 + 77 = 23 + 77 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
G = 37 × 46 + 37 × 54 = 37 × (46 + 54) = 37 × 100 = 3 700
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2 × 2 × 2 = 2³ 1,5 × 1,5 = 1,5² 8 × 8 = 8²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 11² = 11 × 11 = 121 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
« 8² = 16 » Faux. 8² = 8 × 8 = 64. L'exposant ne multiplie pas : 8 × 2 = 16, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
49 = 7² : carré 81 = 9² : carré
82 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 82 < 100 = 10²) 106 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 106 < 121 = 11²)
111 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 111 < 121 = 11²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 5² − 3 = 4 × 25 − 3 = 100 − 3 = 97
B = (4 × 5)² − 3 = 20² − 3 = 400 − 3 = 397
C = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
D = (3 + 2)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 2x² − 6 = 2 × 4² − 6 = 2 × 16 − 6 = 32 − 6 = 26
B = (2x)² − 6 = (2 × 4)² − 6 = 8² − 6 = 64 − 6 = 58
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 2x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
4 × 5 = 20
a) Il faut 20 carreaux le long d'un côté.
20 rangées de 20 carreaux : 20² = 20 × 20 = 400
b) Il faut 400 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 8 et 51. » → encore 42 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 9, 16, 25, 36, 49.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 16, 36.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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