Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 13 + 6 × 2 = 13 + 12 = 25
B = (13 + 6) × 2 = 19 × 2 = 38
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4 + 7 × 2 est une somme : c'est la somme de 4 et du produit de 7 par 2.
D = 12² − 48 est une différence : c'est la différence entre le carré de 12 et 48.
E = 7 × (16 − 10) est un produit : c'est le produit de 7 par la différence entre 16 et 10.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 295 = 885 ≤ 887 < 888 = 3 × 296 : le quotient est 295, le reste 887 − 885 = 2.
887 = 3 × 295 + 2, avec 2 < 3.
14 × 95 = 1 330 ≤ 1 342 < 1 344 = 14 × 96 : le quotient est 95, le reste 1 342 − 1 330 = 12.
1 342 = 14 × 95 + 12, avec 12 < 14.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 127 = 14 × 9 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 14. ✔
(b) 127 = 14 × 8 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(c) 127 = 14 × 10 − 13 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 9, reste 1.
Comme 1 < 9 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 127 par 9 : quotient 14, reste 1.
3. 304 = 7 × 43 + 3
a) 304 jours font 43 semaines complètes et 3 jours.
Après 43 semaines complètes, on est de nouveau dimanche. Il reste à avancer de 3 jours : dimanche → lundi → mardi → mercredi.
b) Dans 304 jours, nous serons mercredi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 382 | oui | non | non | non | non |
| 4 120 | oui | non | oui | non | oui |
| 1 773 | non | oui | non | oui | non |
| 327 | non | oui | non | non | non |
| 415 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
6 382 → 6 + 3 + 8 + 2 = 19 4 120 → 4 + 1 + 2 + 0 = 7 1 773 → 1 + 7 + 7 + 3 = 18
327 → 3 + 2 + 7 = 12 415 → 4 + 1 + 5 = 10
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 7 = 11 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 7 : 18
Une seule solution : 477.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 48 est divisible par 3 (48 = 3 × 16) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 48 est un multiple de 3. » Vrai. 48 = 3 × 16 : le reste de la division de 48 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 37 − 9 + 9 = 28 + 9 = 37
B = 16 + 10 ÷ 2 × 3 = 16 + 5 × 3 = 16 + 15 = 31
C = (4 × 3 − 1) ÷ 5 = (12 − 1) ÷ 5 = 11 ÷ 5 = 2,2
D = 3 × [39 − (2 + 9)] = 3 × [39 − 11] = 3 × 28 = 84
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × (8 × 4 − 8) = 4 × (32 − 8) = 4 × 24 = 96
3 × (4 + 4) × 2 = 3 × 8 × 2 = 24 × 2 = 48
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4,5 × 0,4 + 4,5 × 0,6 = 4,5 × (0,4 + 0,6) = 4,5 × 1 = 4,5
F = 20 × 99 = 20 × (100 − 1) = 20 × 100 − 20 × 1 = 2 000 − 20 = 1 980
G = 30 + 3,45 + 70 = 30 + 70 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 6 × 6 = 6² 2 × 2 × 2 = 2³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 9² = 9 × 9 = 81 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« (3 + 1)² = 3² + 1² » Faux. (3 + 1)² = 4² = 16, alors que 3² + 1² = 9 + 1 = 10.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
14 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 14 < 16 = 4²) 27 = 3³ : cube
68 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 68 < 81 = 9²) 81 = 9² : carré
121 = 11² : carré 129 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 129 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 4² − 1 = 4 × 16 − 1 = 64 − 1 = 63
B = (4 × 4)² − 1 = 16² − 1 = 256 − 1 = 255
C = 1² + 4² = 1 + 16 = 17
D = (1 + 4)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 8 : n² + 4 = 8² + 4 = 64 + 4 = 68 et 5n = 5 × 8 = 40.
68 ≠ 40 : l'égalité est fausse pour n = 8.
Pour n = 4 : n² + 4 = 4² + 4 = 16 + 4 = 20 et 5n = 5 × 4 = 20.
20 = 20 : l'égalité est vraie pour n = 4.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 1, et seulement pour 4 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 6² = π × 36 = 36π
a) L'aire exacte est 36π m².
36 × 3,14 = 113,04
b) L'aire vaut environ 113 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 6², et non (π × 6)². On élève 6 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 10 et 35. » → encore 24 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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