Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 + 6) × 2 = 8 × 2 = 16
B = 2 + 6 × 2 = 2 + 12 = 14
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (5 + 5) × 8 est un produit : c'est le produit de la somme de 5 et 5 par 8.
D = (4 + 50) ÷ 9 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 4 et 50 par 9.
E = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 51 = 306 ≤ 307 < 312 = 6 × 52 : le quotient est 51, le reste 307 − 306 = 1.
307 = 6 × 51 + 1, avec 1 < 6.
26 × 19 = 494 ≤ 516 < 520 = 26 × 20 : le quotient est 19, le reste 516 − 494 = 22.
516 = 26 × 19 + 22, avec 22 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 224 = 13 × 18 − 10 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 224 = 13 × 16 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(c) 224 = 13 × 17 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 13. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 17, reste 3.
Comme 3 < 17 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 224 par 17 : quotient 13, reste 3.
3. 52 = 8 × 6 + 4, avec 4 < 8
a) Chaque joueur reçoit 6 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 8 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 050 | oui | oui | oui | non | oui |
| 3 357 | non | oui | non | oui | non |
| 515 | non | non | oui | non | non |
| 8 104 | oui | non | non | non | non |
| 951 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
7 050 → 7 + 0 + 5 + 0 = 12 3 357 → 3 + 3 + 5 + 7 = 18 515 → 5 + 1 + 5 = 11
8 104 → 8 + 1 + 0 + 4 = 13 951 → 9 + 5 + 1 = 15
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 5 + 9 + □ = 14 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 18
Une seule solution : 594.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 73 se termine par 3, mais 73 = 3 × 24 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 3 est un diviseur de 42. » Vrai. 42 = 3 × 14 : le reste de la division de 42 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 2 + 6 × 8 = 2 + 48 = 50
B = 81 ÷ 9 × 3 = 9 × 3 = 27
C = (5 + 8) × 4 − 19 = 13 × 4 − 19 = 52 − 19 = 33
D = 8,3 + 5 × 0,5 = 8,3 + 2,5 = 10,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(2 × 3 + 3) × 3 = (6 + 3) × 3 = 9 × 3 = 27
(9 − 3 + 2) × 5 = (6 + 2) × 5 = 8 × 5 = 40
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 20 × 101 = 20 × (100 + 1) = 20 × 100 + 20 × 1 = 2 000 + 20 = 2 020
F = 30 + 7,8 + 70 = 30 + 70 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
G = 35 × 76 + 35 × 24 = 35 × (76 + 24) = 35 × 100 = 3 500
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 = 6² 2,5 × 2,5 = 2,5² 2 × 2 × 2 = 2³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 8² = 8 × 8 = 64 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 4² = 8 » Faux. 4² = 4 × 4 = 16. L'exposant ne multiplie pas : 4 × 2 = 8, c'est le double.
« 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
46 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 46 < 49 = 7²) 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 100 = 10² : carré
149 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 149 < 169 = 13²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 4² − 9 = 5 × 16 − 9 = 80 − 9 = 71
B = (5 × 4)² − 9 = 20² − 9 = 400 − 9 = 391
C = 7² + 3² = 49 + 9 = 58
D = (7 + 3)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 4 : n² + 20 = 4² + 20 = 16 + 20 = 36 et 9n = 9 × 4 = 36.
36 = 36 : l'égalité est vraie pour n = 4.
Pour n = 3 : n² + 20 = 3² + 20 = 9 + 20 = 29 et 9n = 9 × 3 = 27.
29 ≠ 27 : l'égalité est fausse pour n = 3.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 5, et seulement pour 4 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. V = 20³ = 20 × 20 × 20 = 8 000
a) Le volume est de 8 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
8 000 ÷ 1 000 = 8
b) L'aquarium contient 8 litres.
Autre façon de voir : 20 cm, c'est 2 fois 10 cm ; on range 2 × 2 × 2 = 8 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 25 et 75. » → encore 49 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49, 64.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.